許瓦爾茲不等式是什么 伯努利不等式推導(dǎo)

柯西---許瓦茲不等式及車比雪夫不等式的內(nèi)容是什么？Schwartz不等式是什么？施瓦茨不等式怎么證？有沒(méi)有大神幫忙證明一下施瓦茨不等式，施瓦茨不等式是什么？施瓦茨不等式是什么？

本文導(dǎo)航

• 切比雪夫不等式含義
• 伯努利不等式推導(dǎo)
• 施瓦茲不等式取最大值條件
• 赫爾德不等式推導(dǎo)過(guò)程
• 伯努利不等式標(biāo)準(zhǔn)形式怎么證明
• 伯努利不等式的證明方法

切比雪夫不等式含義

柯西---許瓦茲不等式

http://www.cbe21.com/subject/maths/html/040401/2002_09/20020911_1793.html

切比雪夫不等式：

若 a1 >= a2 >= ... >= an， b1 >= b2 >= ... >= bn

則：n*(a1b1 + a2b2 + ... + anbn) >= (a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)

伯努利不等式推導(dǎo)

也就是柯西-施瓦茨不等式。ai、bi為任意實(shí)數(shù)(i=1,2...n),則(a1^2+a2^2+....+an^2)(b1^2+b2^2+....+bn^2)>=(a1b1+a2b2+....+anbn)^2?？梢詷?gòu)造二次函數(shù)，借助判別式來(lái)證明。

施瓦茲不等式取最大值條件

施瓦茨不等式

一、高數(shù)中的施瓦茨不等式

證明：令，則

從而有，即

對(duì)的二次三項(xiàng)式講，，從而有

所以

二、線代中的施瓦茨不等式

[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]

證明：

構(gòu)造方程(x1z-y1)^2+(x2z-y2)^2+...+(xnz-yn)^2>=0

(x1^2+x2^2+...xn^2)z^2+2*z (x1y1+x2y2+...xnyn) +(y1^2+y2^2+...+yn^2)>=0

上面的不等式左邊是關(guān)于z的一元二次方程

那么它的根判別式Δ<=0

Δ=4(x1y1+x2y2+...xnyn)^2-4(x1^2+x2^2+...xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)<=0

得證[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]

三、概率論中的施瓦茨不等式

證明：由于對(duì)任何隨機(jī)變量，方差非負(fù)，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)t,

D(Y-tX)=E{[(Y-tX)-E(Y-tX)]2}

=E{[(Y-E(Y))-t(X-E(X)] 2}

=E{(Y-E(Y))2-2t[(X-E(X)(Y-E(Y))]+t2(X-E(X))2}

=t2E(X-E(X))2 -2tE[(X-E(X)(Y-E(Y))]2+E(Y-E(Y))2

=t2D(X)-2tCov(X,Y)+D(Y)>=0

不等式左邊是關(guān)于t 的二次多項(xiàng)式，對(duì)任意實(shí)數(shù)t，它非負(fù)的充分必要條件是判別式<=0，即4[Cov(X,Y)]2-4D(X)D(Y)<=0,

得證：[Cov(X,Y)]2<=D(X)D(Y)

赫爾德不等式推導(dǎo)過(guò)程

證明一下二維的情況，多維類推:

a、b、c、d>0時(shí)，

構(gòu)造向量m=(a,b)，n=(c,d).

依向量模不等式|m|·|n|≥|m·n|得，

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

故二維柯西——許瓦茨不等式成立。

多維類推。

伯努利不等式標(biāo)準(zhǔn)形式怎么證明

施瓦茨不等式是柯西—施瓦茨不等式一個(gè)在眾多背景下都有應(yīng)用的不等式，例如線性代數(shù)，數(shù)學(xué)分析，概率論，向量代數(shù)以及其他許多領(lǐng)域。它被認(rèn)為是數(shù)學(xué)中最重要的不等式之一。

此不等式最初于1821年被柯西提出，其積分形式在1859被布尼亞克夫斯基提出，而積分形式的現(xiàn)代證明則由施瓦茲于1888年給出。

應(yīng)用

數(shù)學(xué)上，柯西—施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西—布尼亞科夫斯基—施瓦茨不等式，是一條很多場(chǎng)合都用得上的不等式，例如線性代數(shù)的矢量，數(shù)學(xué)分析的無(wú)窮級(jí)數(shù)和乘積的積分，和概率論的方差和協(xié)方差。

不等式以?shī)W古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基（ВикторЯковлевичБуняковский）命名。

伯努利不等式的證明方法

柯西-施瓦茨不等式是一個(gè)在眾多背景下都有應(yīng)用的不等式，例如線性代數(shù)，數(shù)學(xué)分析，概率論，向量代數(shù)以及其他許多領(lǐng)域。它被認(rèn)為是數(shù)學(xué)中最重要的不等式之一。

此不等式最初于1821年被柯西提出，其積分形式在1859被布尼亞克夫斯基提出，而積分形式的現(xiàn)代證明則由施瓦茲于1888年給出。

發(fā)展與應(yīng)用：

數(shù)學(xué)上，柯西—施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西—布尼亞科夫斯基—施瓦茨不等式，是一條很多場(chǎng)合都用得上的不等式，例如線性代數(shù)的矢量，數(shù)學(xué)分析的無(wú)窮級(jí)數(shù)和乘積的積分，和概率論的方差和協(xié)方差。

不等式以?shī)W古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基（ВикторЯковлевичБуняковский）命名。