什么是正定矩陣 什么是對稱正定矩陣
什么事正定矩陣？正定矩陣的性質有哪些？什么是矩陣的正定和負定？什么是正定矩陣？什么是正定矩陣，正交矩陣？什么是正定矩陣？什么是對稱正定矩陣？
本文導航
正定矩陣性質及判定方法
對于對稱矩陣A,若對任意非零向量x，都有x*AX>0成立，則稱A為正定。
如果A是正定矩陣，那么a[i][i]一定大于0。因為，a[i][i]=ei*Aei>0.
其中，ei為第i個單位向量。
矩陣正定的必要條件
一． 定義
因為正定二次型與正定矩陣有密切的聯(lián)系，所以在定義正定矩陣之前，讓我們先定義正定二次型:
設有二次型 ,如果對任何x 0都有f(x)>0( 0) ，則稱f(x) 為正定（半正定）二次型。
相應的，正定（半正定）矩陣和負定（半負定）矩陣的定義為：
令A為 階對稱矩陣，若對任意n 維向量 x 0都有 ＞0(≥0)則稱A正定（半正定）矩陣；反之，令A為n 階對稱矩陣，若對任意 n 維向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 則稱A負定（半負定）矩陣。
例如，單位矩陣E 就是正定矩陣。
二． 正定矩陣的一些判別方法
由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法：
1.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的 n 個特征值全是正數(shù)。
證明：若 ， 則有
∴λ＞0
反之，必存在U使
即
有
這就證明了A正定。
由上面的判別正定性的方法，不難得到A為半正定矩陣的充要條件是：A的特征值全部非負。
2．n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E。
證明：A正定
二次型 正定
A的正慣性指數(shù)為n
3．n階對稱矩陣A正定（半正定）的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣U使 ；進一步有 （B為正定（半正定）矩陣）。
證明：n階對稱矩陣A正定，則存在可逆矩陣U使
令 則
令 則
反之，
∴A正定。
同理可證A為半正定時的情況。
4．n階對稱矩陣A正定，則A的主對角線元素 ，且 。
證明：（1）∵n階對稱矩陣A正定
∴ 是正定二次型
現(xiàn)取一組不全為0 的數(shù)0,…,0,1,0…0(其中第I個數(shù)為1)代入，有
∴
∴A正定
∴存在可逆矩陣C ，使
5．n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是：A的 n 個順序主子式全大于零。
證明：必要性：
設二次型 是正定的
對每個k,k=1,2,…,n,令
，
現(xiàn)證 是一個k元二次型。
∵對任意k個不全為零的實數(shù) ，有
∴ 是正定的
∴ 的矩陣
是正定矩陣
即
即A的順序主子式全大于零。
充分性：
對n作數(shù)學歸納法
當n=1時，
∵ ， 顯然 是正定的。
假設對n-1元實二次型結論成立，現(xiàn)在證明n元的情形。
令 ， ，
∴A可分塊寫成
∵A的順序主子式全大于零
∴ 的順序主子式也全大于零
由歸納假設， 是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣Q使
令
∴
再令 ，
有
令 ，
就有
兩邊取行列式，則
由條件 得a＞0
顯然
即A合同于E ，
∴A是正定的。
三． 負定矩陣的一些判別方法
1．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的負慣性指數(shù)為n。
2．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的特征值全小于零。
3．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的順序主子式 滿足
，
即奇數(shù)階順序主子式全小于零，偶數(shù)階順序主子式全大于零。
由于A是負定的當且僅當-A是正定的，所以上敘結論不難從正定性的有關結論直接得出，故證明略。
四．半正定矩陣的一些判別方法
1． n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數(shù)等于它的秩。
2． n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全大于等于零，但至少有一個特征值等于零。
3． n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的各階主子式全大于等于零，但至少有一個主子式等于零。
注：3中指的是主子式而不是順序主子式，實際上，只有順序主子式大于等于零并不能保證A是半正定的，例如：
矩陣 的順序主子式 ， ， ，
但A并不是半正定的。
關于半負定也有類似的定理，這里不再寫出。
什么是對稱正定矩陣
在線性代數(shù)里，正定矩陣有時會簡稱為正定陣。在線性代數(shù)中，正定矩陣的性質類似復數(shù)中的正實數(shù)。與正定矩陣相對應的線性算子是對稱正定雙線性形式（復域中則對應埃爾米特正定雙線性形式）。
廣義定義：設M是n階方陣，如果對任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT;表示z的轉置，就稱M為正定矩陣。
例如：B為n階矩陣，E為單位矩陣，a為正實數(shù)。在a充分大時，aE+B為正定矩陣。（B必須為對稱陣）
狹義定義：一個n階的實對稱矩陣M是正定的的條件是當且僅當對于所有的非零實系數(shù)向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的轉置。
擴展資料：判定的方法
根據(jù)正定矩陣的定義及性質，判別對稱矩陣A的正定性有兩種方法：
（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均為正數(shù)，則A是正定的；若A的特征值均為負數(shù)，則A為負定的。
（2）計算A的各階主子式。若A的各階主子式均大于零，則A是正定的；若A的各階主子式中，奇數(shù)階主子式為負，偶數(shù)階為正，則A為負定的。
正定矩陣相減是正定矩陣嗎
在線性代數(shù)里，正定矩陣 (positive definite matrix) 有時會簡稱為正定陣。在線性代數(shù)中，正定矩陣的性質類似復數(shù)中的正實數(shù)。與正定矩陣相對應的線性算子是對稱正定雙線性形式（復域中則對應埃爾米特正定雙線性形式）。
如果AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉置矩陣”）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣。正交矩陣是實數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是屬于正規(guī)矩陣。盡管我們在這里只考慮實數(shù)矩陣，但這個定義可用于其元素來自任何域的矩陣。
正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對于復數(shù)的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數(shù)）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。
擴展資料正交矩陣不一定是正定矩陣
舉反例：
A=-E，是正交矩陣，但不是正定矩陣。
正定矩陣也不一定是正交矩陣。
矩陣正定的前提是對稱陣，而正交矩陣不一定是對稱陣。
將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算算法。關于矩陣相關理論的發(fā)展和應用，請參考《矩陣理論》。在天體物理、量子力學等領域，也會出現(xiàn)無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。
參考資料：百度百科-正交矩陣
參考資料：百度百科-正定矩陣
正定矩陣是不是一定是對稱矩陣
對稱正定矩陣的性質定理
在線性代數(shù)中，正定矩陣的性質類似復數(shù)中的正實數(shù)。與正定矩陣相對應的線性算子是對稱正定雙線性形式。
正定矩陣的行列式恒為正；實對稱矩陣A正定當且僅當A與單位矩陣合同；若A是正定矩陣，則A的逆矩陣也是正定矩陣；兩個正定矩陣的和是正定矩陣；正實數(shù)與正定矩陣的乘積是正定矩陣。
擴展資料：
對于n階實對稱矩陣A，下列條件是等價的：A是正定矩陣；A的一切順序主子式均為正；A的一切主子式均為正；A的特征值均為正。
對于具體的實對稱矩陣，常用矩陣的各階順序主子式是否大于零來判斷其正定性；對于抽象的矩陣，由給定矩陣的正定性，利用標準型，特征值及充分必要條件來證相關矩陣的正定性。
