為什么學(xué)平穩(wěn)隨機(jī) 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程

請數(shù)學(xué)高手解答平穩(wěn)隨機(jī)過程的問題，一個隨機(jī)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程的充分必要條件是，什么是平穩(wěn)的隨機(jī)過程？平穩(wěn)隨機(jī)序列，什么是隨機(jī)過程？什么是平穩(wěn)隨機(jī)過程，非平穩(wěn)隨機(jī)過程？

本文導(dǎo)航

• 任意隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都存在
• 隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充分必要條件
• 狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念
• 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程
• 隨機(jī)過程理論的主要內(nèi)容

任意隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都存在

所謂的平穩(wěn)過程就是指過程的統(tǒng)計(jì)特性與觀測開始時間無關(guān)，如果過程被分成很多時間段，不同的時間段都會顯示出本質(zhì)上相同的統(tǒng)計(jì)特性。一般來說平穩(wěn)過程源自穩(wěn)定的物理現(xiàn)象，而非平穩(wěn)過程源自不穩(wěn)定的物理現(xiàn)象。嚴(yán)平穩(wěn)就是隨機(jī)過程的每一組聯(lián)合分布函數(shù)對于取定的不同時間原點(diǎn)是時不變的。廣義平穩(wěn)滿足的條件:1期望（或者說均值）常數(shù)2自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)。一個平穩(wěn)過程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)的，因?yàn)椴荒艽_定所有的k維聯(lián)合分布函數(shù)關(guān)于時間間隔是時不變的。另一方面嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程并不一定滿足廣義平穩(wěn)的兩個條件，因?yàn)樗囊浑A和二階距可能并不存在。不過顯然，有限二階距的嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程所組成的集合是平穩(wěn)過程所組成的集合的子集。________以上摘自《通信系統(tǒng)第四版》（西蒙-赫金）所以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f“嚴(yán)平穩(wěn)一定是廣義平穩(wěn)”這句話是不對的

隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充分必要條件

以概率和統(tǒng)計(jì)的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系，用電子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬或抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計(jì)模擬法或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法。 蒙特卡羅是摩納哥的一個城市，以賭博聞名于世界。蒙特卡羅法借用這一城市的名稱是為了象征性地表明該方法的概率統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)。 蒙特卡羅法作為一種計(jì)算方法，是由S.M.烏拉姆和J.馮·諾伊曼在20世紀(jì)40年代中葉為研制核武器的需要而首先提出來的。在此之前，該方法的基本思想實(shí)際上早已被統(tǒng)計(jì)學(xué)家所采用了。例如，早在17世紀(jì)，人們就知道了依頻數(shù)來決定概率的方法。 20世紀(jì)40年代中葉，出現(xiàn)了電子計(jì)算機(jī)，使得用數(shù)學(xué)方法模擬大量的試驗(yàn)成為可能。另外，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，出現(xiàn)了越來越多的復(fù)雜而困難的問題，用通常的解析方法或數(shù)值方法都很難加以解決。蒙特卡羅法就是在這些情況下，作為一種可行的而且是不可缺少的計(jì)算方法被提出和迅速發(fā)展起來的。 基本原理 考慮一個射擊運(yùn)動員的射擊成績 G。令x表示彈著點(diǎn)到靶心的距離，g(x)表示得分，而(x)表示該運(yùn)動員的彈著點(diǎn)的分布密度，則 。 另一方面，如果該運(yùn)動員進(jìn)行了實(shí)彈射擊，彈著點(diǎn)依次為X1，X2，…，XN，則平均得分為 。 很明顯，弿N是G 的一個近似估計(jì)。蒙特卡羅法正是用弿N作為G 的近似估計(jì)。 假設(shè) x不是一維空間的點(diǎn)，而是一個S 維空間的點(diǎn)(x1，x2，…，xs)，則上述積分變?yōu)?。 蒙特卡羅法計(jì)算此積分是用 作為G 的近似估計(jì)，式中(X1n，X2n，…，Xsn)是由(x1，x2，…，xs)中抽取的第n 個樣本點(diǎn)。同上述一維積分比較，相同點(diǎn)是，都以某隨機(jī)變量的N 個獨(dú)立抽樣值的算術(shù)平均作為近似估計(jì)；不同點(diǎn)僅僅是，決定隨機(jī)量的樣本點(diǎn)不同，一個是一維空間的點(diǎn)，另一個是S 維空間的點(diǎn)。由上式可見， 決定近似估計(jì) 弿N好壞的僅僅是隨機(jī)變量g(x)或g(x1，x2，…，xs)的分布情況，而與它們是由怎樣的樣本點(diǎn)對應(yīng)過來的無關(guān)。換言之，如果隨機(jī)變量g(x)和g(x1，x2，…，xs)具有相同分布，在不計(jì)抽樣，不計(jì)計(jì)算g(x)和g(x1，x2，…，xs)的差別的情況下，S維情況與一維情況無任何差異。這是其他計(jì)算方法所不具有的、一個非常重要的性質(zhì)。 蒙特卡羅法解題的一般過程是，首先構(gòu)成一個概率空間；然后在該概率空間中確定一個隨機(jī)變量g(x)，其數(shù)學(xué)期望 正好等于所要求的值G，其中F(x)為x的分布函數(shù)；最后，以所確定的隨機(jī)變量的簡單子樣的算術(shù)平均值 作為G 的近似估計(jì)。由于其他原因，如確定數(shù)學(xué)期望為G 的隨機(jī)變量g(x)有困難，或?yàn)槠渌康?，蒙特卡羅法有時也用G 的漸近無偏估計(jì)代替一般過程中的無偏估計(jì)弿N來作為G 的近似估計(jì)。 收斂性、誤差和費(fèi)用 蒙特卡羅法的近似估計(jì)弿N依概率1收斂于G的充分必要條件是隨機(jī)變量g(x)滿足 。 如果隨機(jī)變量g(x)滿足條件 ， 式中1≤r<2，則 ， 亦即弿N依概率1收斂于G 的速度為?？傊商乜_法的收斂性取決于所確定的隨機(jī)變量是否絕對可積，而蒙特卡羅法的收斂速度取決于該隨機(jī)變量是幾次絕對可積的。 根據(jù)中心極限定理，只要隨機(jī)變量g(x)具有有限的異于零的方差σ2，當(dāng)N 足夠大時便有蒙特卡羅法的誤差公式如下： ， 式中1-α為置信水平，x由置信水平所惟一確定。根據(jù)上述誤差公式，為滿足問題的誤差和置信水平的要求，子樣容量N必須大于(x/ε)2σ2，其中ε表示誤差。進(jìn)一步假設(shè)每觀察一個樣本所需要的費(fèi)用是C，則蒙特卡羅法的費(fèi)用是。這一結(jié)果表明，在相同誤差和置信水平要求下，一個蒙特卡羅法的優(yōu)劣完全取決于σ2C 的值的大小，它的值越小相應(yīng)的方法越好，或者說，蒙特卡羅法的效率與σ2C 成反比。 提高效率的方法 降低方差技巧 降低方差是提高蒙特卡羅法效率的重要途徑之一?？紤]二重積分 ， 式中(x，y)為x和y的分布密度函數(shù)，g(x，y)的方差存在。蒙特卡羅法計(jì)算Eg的一般技巧是用g=g(x， y)作為所確定的隨機(jī)變量，其中x和y服從分布(x，y)。降低方差的具體辦法有： ① 統(tǒng)計(jì)估計(jì)技巧 用(x) 和x(y)分別表示分布(x，y)的邊緣分布和條件分布。計(jì)算Eg的統(tǒng)計(jì)估計(jì)技巧是用y的統(tǒng)計(jì)估計(jì)量 作為所確定的隨機(jī)變量，其中x服從分布(x)。g的方差恰好

記得采納啊

狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念

平穩(wěn)隨機(jī)過程

在數(shù)學(xué)中，平穩(wěn)隨機(jī)過程（Stationary random process）或者嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程（Strictly-sense stationary random process），又稱狹義平穩(wěn)過程，是在固定時間和位置的概率分布與所有時間和位置的概率分布相同的隨機(jī)過程：即隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時間的推移而變化。這樣，數(shù)學(xué)期望和方差這些參數(shù)也不隨時間和位置變化。

廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程

在信息處理與傳輸中，經(jīng)常遇到一類稱為平穩(wěn)隨機(jī)序列的重要信號。所謂平穩(wěn)隨機(jī)序列，是指它的N維概率分布函數(shù)或N維概率密度函數(shù)與時間n的起始位置無關(guān)。換句話說，平穩(wěn)隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)特性不隨時間的平移而發(fā)生變化。如果將隨機(jī)序列在時間上平移k，其統(tǒng)計(jì)特性滿足等式：

地球物理信息處理基礎(chǔ)

這類隨機(jī)序列就稱為平穩(wěn)隨機(jī)序列。然而，在實(shí)際情況中，這一平穩(wěn)條件很難得到滿足，因此常將這類隨機(jī)序列稱為狹義（嚴(yán)）平穩(wěn)隨機(jī)序列。大多數(shù)情況下，雖然隨機(jī)序列并不是平穩(wěn)隨機(jī)序列，但是它們的均值和均方值卻不隨時間而改變，其相關(guān)函數(shù)僅是時間差的函數(shù)，一般將這一類隨機(jī)序列稱為廣義（寬）平穩(wěn)隨機(jī)序列。下面我們重點(diǎn)分析研究這類平穩(wěn)隨機(jī)序列。為簡單起見，將廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列簡稱為平穩(wěn)隨機(jī)序列。

平穩(wěn)隨機(jī)序列的一維概率密度函數(shù)與時間無關(guān)，因此均值、方差和均方值均與時間無關(guān)，它們可分別表示為

μx=E［X（n）］=E［X（n+m）］ （1-17）

地球物理信息處理基礎(chǔ)

二維概率密度函數(shù)僅僅取決于時間差，與起始時間無關(guān)；自相關(guān)函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)是時間差的函數(shù)。自相關(guān)函數(shù)rxx（m）與自協(xié)方差函數(shù)cxx（m）（用cxx（m）表示covxx（m））分別為

rxx（m）=E［X（n+m）X*（n）］ （1-20）

cxx（m）=E｛［X（n+m）-μx］［X（n）-μx］*｝ （1-21）

對于兩個各自平穩(wěn)而且聯(lián)合平穩(wěn)的隨機(jī)序列，其互相關(guān)函數(shù)為

rxy（m）=rxy（n+m，n）=E［X（n+m）Y*（n）］ （1-22）

顯然，對于自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)，下面公式成立

地球物理信息處理基礎(chǔ)

如果對于所有的m，滿足rxy（m）=0，則稱兩個隨機(jī)序列互為正交。如果對于所有的m，滿足rxy（m）=μxμy，cxy（m）=0，則稱兩個隨機(jī)序列互不相關(guān)。

實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列的相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)具有以下重要性質(zhì)

（1）自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是m的偶函數(shù)，即

rxx（m）=rxx（-m），cxx（m）=cxx（-m） （1-25）

而互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)有如下關(guān)系

rxy（m）=ryx（-m），cxy（m）=cyx（-m） （1-26）

（2）rxx（0）在數(shù)值上等于隨機(jī)序列的平均功率，即

地球物理信息處理基礎(chǔ)

（3）

rxx（0）≥｜rxx（m）｜ （1-28）

（4）

地球物理信息處理基礎(chǔ)

（5）

上兩式說明大多數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)序列內(nèi)部的相關(guān)性隨著時間差的變大，愈來愈弱。

（6）

地球物理信息處理基礎(chǔ)

隨機(jī)過程理論的主要內(nèi)容

平穩(wěn)隨機(jī)過程

在數(shù)學(xué)中，平穩(wěn)隨機(jī)過程（stationary

random

process）或者嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程（strictly-sense

stationary

random

process），又稱狹義平穩(wěn)過程，是在固定時間和位置的概率分布與所有時間和位置的概率分布相同的隨機(jī)過程：即隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時間的推移而變化。這樣，數(shù)學(xué)期望和方差這些參數(shù)也不隨時間和位置變化。