怎么判定兩個(gè)矩陣合同 矩陣合同的充要條件

怎么判別兩矩陣是否合同，數(shù)學(xué)大佬進(jìn)來看看？線性代數(shù)中，怎么判斷兩個(gè)矩陣是否合同？矩陣合同的充要條件。

本文導(dǎo)航

• 如何判斷矩陣是不是對(duì)稱矩陣
• 線性代數(shù)與矩陣的關(guān)系
• 矩陣合同的充要條件

如何判斷矩陣是不是對(duì)稱矩陣

判斷合同可以利用慣性定律，比較這兩個(gè)矩陣的正負(fù)慣性指數(shù)。相同則合同。

線性代數(shù)與矩陣的關(guān)系

矩陣合同的主要判別法：

1、設(shè)A,B均為復(fù)數(shù)域上的n階對(duì)稱矩陣,則A與B在復(fù)數(shù)域上合同等價(jià)于A與B的秩相同。

2、設(shè)A,B均為實(shí)數(shù)域上的n階對(duì)稱矩陣,則A與B在實(shí)數(shù)域上合同等價(jià)于A與B有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)（即正、負(fù)的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)相等）。

合同關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，也就是說滿足：

1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；

2、對(duì)稱性：A合同于B，則可以推出B合同于A；

3、傳遞性：A合同于B，B合同于C，則可以推出A合同于C；

4、合同矩陣的秩相同。

在線性代數(shù)，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關(guān)系。一般在線代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中。二次型用的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣。兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同的充要條件是它們的正負(fù)慣性指數(shù)相同。由這個(gè)條件可以推知，合同矩陣等秩。

擴(kuò)展資料：

矩陣的相似和矩陣的合同都是由線性空間中坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換引起的。我們?cè)诰€性空間中定義矩陣和向量的乘法，并將矩陣?yán)斫獬删€性空間中“運(yùn)動(dòng)”的施加，變換坐標(biāo)系之后，同一個(gè)“運(yùn)動(dòng)”在不同坐標(biāo)系下是相似的關(guān)系。

我們?cè)诰€性空間中定義向量的內(nèi)積（或者說雙線性型），同一個(gè)雙線性型運(yùn)算在不同坐標(biāo)系下相差合同矩陣。之所以要換坐標(biāo)系，就是為了在最簡單的坐標(biāo)系下看清問題的本質(zhì)。

參考資料來源：百度百科-合同矩陣

矩陣合同的充要條件

二次型用的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣。兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同的充要條件是它們的正負(fù)慣性指數(shù)相同。由這個(gè)條件可以推知，合同矩陣等秩。相似矩陣與合同矩陣的秩都相同。

在線性代數(shù)，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關(guān)系。兩個(gè)矩陣A和B是合同的，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)可逆矩陣C，使得C^TAC=B，則稱方陣A合同于矩陣B.

一般在線代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中。二次型用的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣。兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同的充要條件是它們的正負(fù)慣性指數(shù)相同。由這個(gè)條件可以推知，合同矩陣等秩。

相似矩陣與合同矩陣的秩都相同。

合同矩陣：設(shè)A,B是兩個(gè)n階方陣，若存在可逆矩陣C，使得

則稱方陣A與B合同，記作 A?B。

在線性代數(shù)，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關(guān)系。一般在線代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中。二次型用的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣。兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同的充要條件是它們的正負(fù)慣性指數(shù)相同。由這個(gè)條件可以推知，合同矩陣等秩。