對角化矩陣有什么用 什么是對角矩陣
量子力學(xué)中，矩陣或算符的對角化有什么意義？對角化矩陣，對角矩陣有什么重要的性質(zhì)？矩陣的對角化和若爾當(dāng)標準型有什么意義？
本文導(dǎo)航
量子力學(xué)tr是怎么計算的
1.量子力學(xué)中的算符都是Hilbert空間中的Hermite算符，必定可以酉對角化，這個是譜分解定理，通過對角化可以得到算子所有的信息，也就是波函數(shù)以及對應(yīng)的能量。
2.雖然譜分解定理表明了理論上的存在性，但是沒有很一般的步驟來實現(xiàn)對角化，數(shù)值上當(dāng)然是可以做到的。
為什么要進行矩陣對角化
施密特正交對角化得到的矩陣是正交矩陣，至少有兩個好處
便于求逆矩陣
正交相似變換也是合同變換
什么是對角矩陣
定義：所有非主對角線元素全為零的n階矩陣稱為對角矩陣
性質(zhì)：
1、對角矩陣為n階方矩陣
2、對角矩陣的秩等于主對角線上非零元素的個數(shù)
3、對角矩陣的跡等于主對角線上非零元素的和
4、對角矩陣的Jordan標準型即為其本身
5、若對角矩陣主對角線上的元素均非零,則對角矩陣非奇,存在逆矩陣,且逆矩陣也為對角矩陣,其主對角線元素為原對角矩陣主對角線元素的倒數(shù)
矩陣對角化有什么應(yīng)用
特征值互異時，矩陣A的相似變換可轉(zhuǎn)為純對角陣(Λ)。特征值既有異根也有重根時，矩陣A的相似變換一般為若當(dāng)塊對角陣(J)。若當(dāng)塊矩陣是廣義的對角陣，包含了特殊情形的純對角陣Λ。若當(dāng)塊對角陣可用于數(shù)學(xué)上求解一階微分方程組。對微分方程組的系數(shù)矩陣求特征值，特征代數(shù)方程往往既有異根亦有重根，所以對系數(shù)矩陣相似變換得到若當(dāng)塊對角陣(J)，然后求指數(shù)若當(dāng)矩陣 e^(J·t)，再求標準基解矩陣 e^(At)＝S· e^(J·t)· (S逆)，最終求出一階微分方程組的函數(shù)解。從更普遍意義理解，矩陣對角化就是若當(dāng)塊對角化。一階微分方程組(狀態(tài)變量法)在時域動態(tài)電路中有較多物理應(yīng)用。
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