什么叫矩估計(jì) 矩估計(jì)的幾種計(jì)算方法

什么叫做矩估計(jì)？什么叫矩估計(jì)？什么是矩估計(jì)？矩估計(jì)的基本思想是什么？矩估計(jì)量是什么意思？什么是廣義矩估計(jì)？求矩估計(jì)量、矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值的詳細(xì)過程是什么？

本文導(dǎo)航

• 矩法估計(jì)的定義
• 矩估計(jì)值唯一嗎
• 矩估計(jì)法的一般步驟
• 矩估計(jì)什么意思
• 中心矩估計(jì)和原點(diǎn)矩估計(jì)
• 矩估計(jì)的幾種計(jì)算方法

矩法估計(jì)的定義

在講解極大似然估計(jì)法之前，我們從一個(gè)例子入手，了解極大似然估計(jì)法的直觀想法:設(shè)甲箱中有99個(gè)白球，1個(gè)黑球；乙箱中有1個(gè)白球，99個(gè)黑球．現(xiàn)隨機(jī)取出一箱，再從中隨機(jī)取出一球，結(jié)果是黑球，這時(shí)我們自然更多地相信這個(gè)黑球是取自乙箱的．因此極大似然估計(jì)法就是要選取這樣的數(shù)值作為參數(shù)的估計(jì)值，使所選取的樣本在被選的總體中出現(xiàn)的可能性為最大.

定義.若總體X的密度函數(shù)為p(x; θ1, θ2,…, θk)，其中θ1, θ2,…, θk是未知參數(shù)，(X1, X2,…, Xn)是來自總體X的樣本，稱

為θ1,θ2,…,θk的似然函數(shù)．其中x1,x2,…,xn為樣本觀測(cè)值．

若有使得

成立, 則稱為θj極大似然估計(jì)值(j=1,2,…,k).

特別地,當(dāng)k=1時(shí),似然函數(shù)為:

根據(jù)微積分中函數(shù)極值的原理，要求使得上式成立，只要令

其中L(θ)=L(x1,x2,…,xn;θ).

解之，所得解為極大似然估計(jì)，上式稱為似然方程.

又由于與的極值點(diǎn)相同,所以根據(jù)情況,也可以求出的解作為極大似然估計(jì).

若總體X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為:

P(X=x)=p(x; θ1, θ2,…,θk)

其中θ1, θ2,…, θk為未知參數(shù)，同樣可以寫出似然函數(shù)及似然方程.

例3.7.3 已知總體X服從泊松分布

(λ>0, x=0,1,…)

(x1,x2,…,xn)是從總體X中抽取的一個(gè)樣本的觀測(cè)值，試求參數(shù)λ的極大似然估計(jì).

解．參數(shù)λ的似然函數(shù)為

兩邊取對(duì)數(shù):

上式對(duì)λ求導(dǎo),并令其為0,即

從而得

即樣本均值是參數(shù)λ的極大似然估計(jì).

例3.7.4 設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ, σ2)，試求μ及σ2的極大似然估計(jì).

解．μ,σ的似然函數(shù)為

似然方程組為

解之得: ,

.

因此及分別是μ及σ2的極大似然估計(jì).

上面我們介紹了兩種求估計(jì)量的方法：矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法.從矩估計(jì)法公式我們得到,對(duì)正態(tài)總體N(μ, σ2)，未知參數(shù)μ的矩估計(jì)為,σ2的矩估計(jì)為；而由例3.7.4, μ, σ2的極大似然估計(jì)也分別是與.一般地，在相當(dāng)多的情況下，矩估計(jì)與極大似然估計(jì)是一致的，但也確有許多情形，矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法給出的估計(jì)是不同的.誰優(yōu)誰劣?我們可以用估計(jì)量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)價(jià)．除此之外，亦可以根據(jù)問題的實(shí)際意義進(jìn)行判定.

矩估計(jì)值唯一嗎

標(biāo)準(zhǔn)定義(同濟(jì)大學(xué))

矩估計(jì)法:用樣本的k階原點(diǎn)矩作為總體k階原點(diǎn)矩的估計(jì)的方法稱為矩估計(jì)法.

矩估計(jì)法的一般步驟

所謂矩估計(jì)法, 就是利用樣本矩來估計(jì)總體中相應(yīng)的參數(shù). 最簡單的矩估計(jì)法是用一階樣本原點(diǎn)矩來估計(jì)總體的期望而用二階樣本中心矩來估計(jì)總體的方差.

矩估計(jì)法的基本思想是用樣本矩代替總體矩.

矩估計(jì)什么意思

中心矩估計(jì)和原點(diǎn)矩估計(jì)

廣義矩估計(jì)，即GMM（Generalized method of moments），是基于模型實(shí)際參數(shù)滿足一定矩條件而形成的一種參數(shù)估計(jì)方法，是矩估計(jì)方法的一般化。只要模型設(shè)定正確，則總能找到該模型實(shí)際參數(shù)滿足的若干矩條件而采用GMM 估計(jì)。

廣義矩方法(generalized method of moments GMM)是關(guān)于參數(shù)估計(jì)的一種原理，關(guān)于GMM的一般表述是由漢森(1982)提出的。GMM最大的優(yōu)點(diǎn)是僅需要一些矩條件而不是整個(gè)密度。很多的估計(jì)量都可以視為GMM的特例，這些估計(jì)量包括普通最小二乘估計(jì)量、工具變量法估計(jì)量、兩階段最小二乘估計(jì)量、非線性聯(lián)立方程系統(tǒng)的估計(jì)量以及動(dòng)態(tài)理性預(yù)期模型的估計(jì)量等，在很多情況下即使極大似然估計(jì)量也可看作是GMM的一個(gè)特例。許多計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的模型不是通過完全的分布假設(shè)而是通過矩條件來設(shè)定，例如帶有不可觀測(cè)的個(gè)體影響的動(dòng)態(tài)平面數(shù)據(jù)模型和含有理性預(yù)期的微觀經(jīng)濟(jì)模型，這些模型通常是使用GMM方法來估計(jì)的。

GMM方法的提出促進(jìn)了金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展，金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展也為GMM方法提供了更為廣闊的應(yīng)用空間，同時(shí)也推動(dòng)了GMM理論的完善。金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)(Financial Econometrics)是隨著經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展而產(chǎn)生的一門新的分支學(xué)科，它在發(fā)達(dá)國家也只有十余年的歷史，而在中國則是剛剛提出的。金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展除了得益于金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展外，還得益于以下兩個(gè)重要原因：一是特殊的計(jì)量經(jīng)濟(jì)方法的發(fā)展。

矩估計(jì)的幾種計(jì)算方法

求矩估計(jì)量、矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值的詳細(xì)過程：

1、根據(jù)題目給出的概率密度函數(shù)，計(jì)算總體的原點(diǎn)矩（如果只有一個(gè)參數(shù)只要計(jì)算一階原點(diǎn)矩，如果有兩個(gè)參數(shù)要計(jì)算一階和二階）。由于有參數(shù)這里得到的都是帶有參數(shù)的式子。如果題目給的是某一個(gè)常見的分布，就直接列出相應(yīng)的原點(diǎn)矩（E(x)）。;

2、根據(jù)題目給出的樣本。按照計(jì)算樣本的原點(diǎn)矩，讓總體的原點(diǎn)矩與樣本的原點(diǎn)矩相等，解出參數(shù)。所得結(jié)果即為參數(shù)的矩估計(jì)值。

矩估計(jì)量的背景知識(shí)：

簡單的講，概率密度函數(shù)表示的就是隨機(jī)變量X在某點(diǎn)的概率（所有點(diǎn)的概率和為1）。對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量，其圖像通常為一個(gè)連續(xù)的曲線，離散型的隨機(jī)變量的圖像一般是一個(gè)一個(gè)點(diǎn)組成。

“似然性”與“或然性”或“概率”意思相近，都是指某種事件發(fā)生的可能性，但是在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明確的區(qū)分。似然性則是用于在已知某些觀測(cè)所得到的結(jié)果時(shí)，對(duì)有關(guān)事物的性質(zhì)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。這里類似于“貝葉斯方法”的思路。