等價替換乘除怎么換例子 高數(shù)，等價無窮小替換條件 1可以直接換，2不能，是否是乘可以換，加減不可以直接換？

• 等價無窮小替換原則
• 高等數(shù)學(xué) 等價無窮小替換問題
• 高數(shù)，等價無窮小替換條件 1可以直接換，2不能，是否是乘可以換，加減不可以直接換？
• 極限的四則運算與等價替換的問題
• 高數(shù)，關(guān)于等價無窮小 的替換問題

等價無窮小替換原則

這要看具體情況，實際上加減之所以不能換，主要原因在于可能將更高階的小量的作用忽略掉。舉個簡單的例子，比如計算極限

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-sin x}{x^3}

如果直接將 sin x 換成 x,那么就會得到極限是 0. 但事實上，

sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4),于是原極限等于 \frac{1}{6},而不是 0.

這里就是因為雖然 x 和 sin x 是等價無窮小量，但并不意味著完全相同，

同時有 x-sin x 與 x^3 是同階的。

也就是說，兩個等價無窮小量的差是一個更高階的小量(請證明)，但是不一定是 0，一換就弄成 0 去了，當(dāng)然是有問題的(即便碰巧答案對了，比如將上面的例子中的分母換成 x^2,答案就是 0,方法也是不對的)。

但是有時等價量是可以換的，比如兩個等價量相加，就可以換，因為主部不會相互抵消而只留下高階量。

乘除當(dāng)然可以換，因為主部不變。(嚴(yán)格的敘述及證明請自己補上)

高等數(shù)學(xué) 等價無窮小替換問題

1、“等價無窮小的替換一般發(fā)生在計算兩個無窮小的比值的極限（或者說是兩個無窮小極限值之比）時”。

[評析] 完全正確！

2、“等價無窮小在是乘除時可以替換，加減時不可替換”。

[評析] 不完全對！

如果只是無窮小之間的加加減減時，結(jié)果一定還是無窮小，完全可以替代。

如果加減時，還涉及到其他運算，則不能一概而論。

只要是等價無窮小，都可以替換。

3、“在計算等價無窮小之比的極限時，理論上要替換，是要替換掉分子上的無窮?。ㄕ麄€式子），或者分母上的無窮?。ㄕ麄€式子），這時其實是將整個分子或分母當(dāng)作一個無窮小”。

[評析]：完全正確！

4、“而如果分子或分母上的無窮小不是由一個因式（如單單一個SIN X,或tan X）構(gòu)成的，而是由多個因式通過相乘除或相加減構(gòu)成的，如 ln（1+x）* x 和ln（1+x）+ x 。那么可以找一個與ln（1+x）* x 或 ln（1+x）+ x 的等價無窮小量來替換他。

因為ln（1+x）*X 這個無窮小是由兩個因式 想乘而成的，所以替換掉其中一個ln（1+x）為 x，之后形成的x^2 就是ln（1+x）* x的 等價無窮小，所以可以替換。而ln（1+x）+ x ，因為其是由兩個因式相加而形成的無窮小量，所以如果替換掉ln（1+x）為X，而形成的2X不是ln（1+x）+ x的等價無窮小，所以也就不能替換”。

[評析]：樓主被網(wǎng)上誤導(dǎo)了！

x 與 ln(1+x） 是同價無窮小

x^2 與 x*ln(1+x) 仍然是同價無窮小 。

2x 與〔x + ln(1+x)〕也是同價無窮小。

樓主后面受網(wǎng)上誤導(dǎo)不淺。趕緊糾正。

高數(shù)，等價無窮小替換條件 1可以直接換，2不能，是否是乘可以換，加減不可以直接換？

其實加減是有條件的替換

加減項中如果每一項都是無窮小，各自用等價無窮小替換以后得到的結(jié)果不是0，則是可以替換的。用泰勒公式求極限就是基于這種思想。

舉一個例子讓你明白：

求當(dāng)x→0時，(tanx-sinx)/(x^3)的極限。

用洛必塔法則容易求得這個極限為1/2。

我們知道，當(dāng)x→0時，tanx～x，sinx～x，若用它們代換，結(jié)果等于0，顯然錯了，這是因為x-x=0的緣故；

而當(dāng)x→0時，tanx～x+(x^3)/3，sinx～x-(x^3)/6，它們也都是等價無窮?。▽嶋H上都是3階麥克勞林公式），若用它們代換：tanx-sinx～(x^3)/2≠0，就立即可以得到正確的結(jié)果。

你自己再去找找資料看看吧。。。。

極限的四則運算與等價替換的問題

還是舉個剛剛最簡單的例子limtanx-sinx/x^3,如果對分子等價無窮小分子就變成零了，但實際上無論tanx與sinx多么接近，他倆總是不相等的，這個不相等的階就和x^3等同，因為0比任何數(shù)都是高階無窮小，整個式子的整除只是為了比較其中的這個階，所以可以代換，至于是否加減代換，你可以通過泰勒展開來思考，因為等價其實就是取了泰勒展開的前幾項，而舍棄了后面。有疑問請追問。

高數(shù)，關(guān)于等價無窮小 的替換問題

這個問題很多人都搞不明白，很多自認(rèn)為明白的人也不負(fù)責(zé)任地說一句“乘除可以，加減不行”，包括不少高校教師。其實這種講法是不對的！關(guān)鍵是要知道其中的道理，而不是記住結(jié)論。

1.做乘除法的時候一定可以替換，這個大家都知道。

如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。關(guān)鍵要記住道理

lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)

其中兩項的極限是1，所以就順利替換掉了。

2.加減法的時候也可以替換！但是注意保留余項。

f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，這個是很多人說不能替換的原因，但是如果你這樣看：

f(x)～u(x)等價于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意這里是等號，所以一定是成立的！

問題就出在u(x)+g(x)可能因為相消變成高階的無窮小量，此時余項o(f(x))成為主導(dǎo)，所以不能忽略掉。當(dāng)u(x)+g(x)的階沒有提高時，o(f(x))仍然是可以忽略的。

比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替換的，因為

ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，

所以ln(1+x)+x和2x是等價無窮小量。

但是如果碰到ln(1+x)-x，那么

ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，

此時發(fā)生了相消，余項o(x)成為了主導(dǎo)項。此時這個式子仍然是成立的！只不過用它來作為分子或分母的極限問題可能得到不定型而無法直接求出來而已。

碰到這種情況也不是說就不能替換，如果你換一個高階近似：

ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)

那么

ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)

這個和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意義的結(jié)果，此時余項o(x^2)可以忽略。也就是說用x-x^2/2作為ln(1+x)的等價無窮小量得到的結(jié)果更好。

從上面的例子就可以看出來，余項很重要，不能直接扔掉，因為余項當(dāng)中包含了一定的信息。而且只要保留余項，那么所做的就是恒等變換(注意上面我寫的都是等式)而不是近似，這種方法永遠(yuǎn)是可行的，即使得到不定型也不可能得出錯誤的結(jié)論。等你學(xué)過帶余項的Taylor公式之后對這一點就會有更好的認(rèn)識。