相量頻域是什么 s域與頻域

什么叫頻域？頻域是什么？有沒(méi)有人可以解釋一下相量域（Phasor domain）和傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier series）。

本文導(dǎo)航

• 時(shí)域和頻域有什么關(guān)系
• s域與頻域
• 傅里葉變換的收斂條件

時(shí)域和頻域有什么關(guān)系

頻域就是一個(gè)信號(hào)所具有的所有正弦分量的頻率的總合，任何一個(gè)周期信號(hào)都可以分解為以不同振幅和頻率或相位的正弦波為分量的級(jí)數(shù)，所有分量的頻率的總合叫該信號(hào)的頻域，頻域和時(shí)域都是對(duì)非正弦信號(hào)的分析方法。

樓上不知道是真懂還是只懂皮毛，時(shí)域（信號(hào)對(duì)時(shí)間的函數(shù)）和頻域（信號(hào)對(duì)頻率的函數(shù)）的變換在數(shù)學(xué)上是通過(guò)積分變換實(shí)現(xiàn)，對(duì)周期信號(hào)可以直接使用傅立葉變換，對(duì)非周期信號(hào)則要進(jìn)行周期擴(kuò)展，使用拉普拉斯變換。而傅式級(jí)數(shù)只是對(duì)信號(hào)的分解。

s域與頻域

頻域概述　　頻域是描述信號(hào)在頻率方面特性時(shí)用到的一種坐標(biāo)系。

　　對(duì)任何一個(gè)事物的描述都需要從多個(gè)方面進(jìn)行，每一方面的描述僅為我們認(rèn)識(shí)這個(gè)事物提供部分的信息。例如，眼前有一輛汽車(chē)，我可以這樣描述它

　　方面1：顏色，長(zhǎng)度，高度。

　　方面2：排量，品牌，價(jià)格。

　　方面3：。。。。

　　而對(duì)于一個(gè)信號(hào)來(lái)說(shuō)，它也有很多方面的特性。如果信號(hào)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律（時(shí)域特性），信號(hào)是由哪些單一頻率的信號(hào)合成的（頻域特性）頻域分析　　對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)，有時(shí)一些信號(hào)的時(shí)域參數(shù)相同，但并不能說(shuō)明信號(hào)就完全相同。因?yàn)樾盘?hào)不僅隨時(shí)間變化，還與頻率、相位等信息有關(guān)，這就需要進(jìn)一步分析信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)，并在頻率域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行描述。動(dòng)態(tài)信號(hào)從時(shí)間域變換到頻率域主要通過(guò)傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換實(shí)現(xiàn)。周期信號(hào)靠傅立葉級(jí)數(shù)，非周期信號(hào)靠傅立葉變換。

舉例　　一個(gè)頻域分析的簡(jiǎn)例可以通過(guò)圖1：一個(gè)簡(jiǎn)單線(xiàn)性過(guò)程中小孩的玩具來(lái)加以說(shuō)明。該線(xiàn)性系統(tǒng)包含一個(gè)用手柄安裝的彈簧來(lái)懸掛的重物。小孩通過(guò)上下移動(dòng)手柄來(lái)控制重物的位置。

　　任何玩過(guò)這種游戲的人都知道，如果或多或少以一種正弦波的方式來(lái)移動(dòng)手柄，那么，重物也會(huì)以相同的頻率開(kāi)始振蕩，盡管此時(shí)重物的振蕩與手柄的移動(dòng)并不同步。只有在彈簧無(wú)法充分伸長(zhǎng)的情況下，重物與彈簧會(huì)同步運(yùn)動(dòng)且以相對(duì)較低的頻率動(dòng)作。

　　隨著頻率愈來(lái)愈高，重物振蕩的相位可能更加超前于手柄的相位，也可能更加滯后。在過(guò)程對(duì)象的固有頻率點(diǎn)上，重物振蕩的高度將達(dá)到最高。過(guò)程對(duì)象的固有頻率是由重物的質(zhì)量及彈簧的強(qiáng)度系數(shù)來(lái)決定的。

　　當(dāng)輸入頻率越來(lái)越大于過(guò)程對(duì)象的固有頻率時(shí)，重物振蕩的幅度將趨于減少，相位將更加滯后（換言之，重物振蕩的幅度將越來(lái)越少，而其相位滯后將越來(lái)越大）。在極高頻的情況下，重物僅僅輕微移動(dòng)，而與手柄的運(yùn)動(dòng)方向恰恰相反。

傅里葉變換的收斂條件

一、什么是頻域

從我們出生，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿，股票的走勢(shì)、人的身高、汽車(chē)的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變。這種以時(shí)間作為參照來(lái)觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱(chēng)其為時(shí)域分析。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬(wàn)物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來(lái)。但如果我告訴你，用另一種方法來(lái)觀察世界的話(huà)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會(huì)不會(huì)覺(jué)得我瘋了？我沒(méi)有瘋，這個(gè)靜止的世界就叫做頻域。

二、傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)的頻譜

還是舉個(gè)栗子并且有圖有真相才好理解。

如果我說(shuō)我能用前面說(shuō)的正弦曲線(xiàn)波疊加出一個(gè)帶 90 度角的矩形波來(lái)，你會(huì)相信嗎？你不會(huì)，就像當(dāng)年的我一樣。但是看看下圖：

第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波 cos（x）

第二幅圖是 2 個(gè)賣(mài)萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)

第三幅圖是 4 個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加

第四幅圖是 10 個(gè)便秘的正弦波的疊加

隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長(zhǎng)，他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會(huì)到了什么道理？（只要努力，彎的都能掰直！）

隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線(xiàn)不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€(xiàn)。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。但是要多少個(gè)正弦波疊加起來(lái)才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無(wú)窮多個(gè)。（上帝：我能讓你們猜著我？）

不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來(lái)的。這是沒(méi)有接觸過(guò)傅里葉分析的人在直覺(jué)上的第一個(gè)難點(diǎn)，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開(kāi)始有意思起來(lái)了。

還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個(gè)角度來(lái)看看：

在這幾幅圖中，最前面黑色的線(xiàn)就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來(lái)越接近矩形波的那個(gè)圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個(gè)分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開(kāi)來(lái)，而每一個(gè)波的振幅都是不同的。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每?jī)蓚€(gè)正弦波之間都還有一條直線(xiàn)，那并不是分割線(xiàn)，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說(shuō)，為了組成特殊的曲線(xiàn)，有些正弦波成分是不需要的。

這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。

好了，關(guān)鍵的地方來(lái)了??！

如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。對(duì)于我們最常見(jiàn)的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。

（好吧，數(shù)學(xué)稱(chēng)法為——基。在那個(gè)年代，這個(gè)字還沒(méi)有其他奇怪的解釋?zhuān)竺孢€有正交基這樣的詞匯我會(huì)說(shuō)嗎?）

時(shí)域的基本單元就是“1”秒，如果我們將一個(gè)角頻率為ω0的正弦波cos（ω0t）看做基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是ω0。

有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個(gè)周期無(wú)限長(zhǎng)的正弦波，也就是一條直線(xiàn)！所以在頻域，0 頻率也被稱(chēng)為直流分量，在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對(duì)于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。

接下來(lái)，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。

正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線(xiàn)上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓。

Fourier series square wave circles animation.gif

[Fourier series sawtooth wave circles animation.gif]

介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個(gè)矩形波，在頻域里的另一個(gè)模樣了：

這是什么奇怪的東西？

這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認(rèn)不出來(lái)了？教科書(shū)一般就給到這里然后留給了讀者無(wú)窮的遐想，以及無(wú)窮的吐槽，其實(shí)教科書(shū)只要補(bǔ)一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱(chēng)的頻譜，就是—

再清楚一點(diǎn)：

可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0，也就對(duì)應(yīng)了圖中的彩色直線(xiàn)。振幅為0的正弦波。

Fourier_series_and_transform.gif

老實(shí)說(shuō)，在我學(xué)傅里葉變換時(shí)，維基的這個(gè)圖還沒(méi)有出現(xiàn)，那時(shí)我就想到了這種表達(dá)方法，而且，后面還會(huì)加入維基沒(méi)有表示出來(lái)的另一個(gè)譜——相位譜。

但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么。記得前面說(shuō)過(guò)的那句“世界是靜止的”嗎？估計(jì)好多人對(duì)這句話(huà)都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個(gè)看似混亂的表象，實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不規(guī)則的曲線(xiàn)，但實(shí)際這些曲線(xiàn)都是由這些無(wú)窮無(wú)盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影，而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線(xiàn)上的投影。那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫(huà)面呢？

我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無(wú)數(shù)的齒輪，大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪再帶動(dòng)更小的。在最外面的小齒輪上有一個(gè)小人——那就是我們自己。我們只看到這個(gè)小人毫無(wú)規(guī)律的在幕布前表演，卻無(wú)法預(yù)測(cè)他下一步會(huì)去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠(yuǎn)一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說(shuō)來(lái)有些宿命論的感覺(jué)。說(shuō)實(shí)話(huà)，這種對(duì)人生的描繪是我一個(gè)朋友在我們都是高中生的時(shí)候感嘆的，當(dāng)時(shí)想想似懂非懂，直到有一天我學(xué)到了傅里葉級(jí)數(shù)……

三、傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Series）的相位譜

上一章的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看。這一章的關(guān)鍵詞是：從下面看。

在這一章最開(kāi)始，我想先回答很多人的一個(gè)問(wèn)題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對(duì)比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個(gè)分割線(xiàn)。

先說(shuō)一個(gè)最直接的用途。無(wú)論聽(tīng)廣播還是看電視，我們一定對(duì)一個(gè)詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個(gè)通道來(lái)進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：

先在紙上畫(huà)一個(gè)sin（x），不一定標(biāo)準(zhǔn)，意思差不多就行。不是很難吧。好，接下去畫(huà)一個(gè)sin（3x）+sin（5x）的圖形。別說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了，曲線(xiàn)什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫(huà)的對(duì)吧？

好，畫(huà)不出來(lái)不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線(xiàn)給你，但是前提是你不知道這個(gè)曲線(xiàn)的方程式，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。但是在頻域呢？則簡(jiǎn)單的很，無(wú)非就是幾條豎線(xiàn)而已。

所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線(xiàn)中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱(chēng)為濾波，是信號(hào)處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。

再說(shuō)一個(gè)更重要，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程。（這段有點(diǎn)難度，看不懂的可以直接跳過(guò)這段）微分方程的重要性不用我過(guò)多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情。因?yàn)槌艘?jì)算加減乘除，還要計(jì)算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统?，大學(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒(méi)有。

傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。

下面我們繼續(xù)說(shuō)相位譜：

通過(guò)時(shí)域到頻域的變換，我們得到了一個(gè)從側(cè)面看的頻譜，但是這個(gè)頻譜并沒(méi)有包含時(shí)域中全部的信息。因?yàn)轭l譜只代表每一個(gè)對(duì)應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒(méi)有提到相位?；A(chǔ)的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對(duì)于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個(gè)相位譜。那么這個(gè)相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個(gè)波疊加的圖。

于正弦波是周期的，我們需要設(shè)定一個(gè)用來(lái)標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰，而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來(lái)表示。當(dāng)然，這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。

這里需要糾正一個(gè)概念：時(shí)間差并不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話(huà)，相位差則是時(shí)間差在一個(gè)周期中所占的比例。我們將時(shí)間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。

在完整的立體圖中，我們將投影得到的時(shí)間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側(cè)面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話(huà)，可以告訴她：“對(duì)不起，我只是想看看你的相位譜?！?/p>

注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因?yàn)閏os（t+Pi）=-cos（t），所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已。對(duì)于周期方波的傅里葉級(jí)數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡(jiǎn)單的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域?yàn)?-pi，pi]，所以圖中的相位差均為Pi。

最后來(lái)一張大集合：

四、傅里葉變換（Fourier Tranformation）

傅里葉變換實(shí)際上是對(duì)一個(gè)周期無(wú)限大的函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換。

所以說(shuō)，鋼琴譜其實(shí)并非一個(gè)連續(xù)的頻譜，而是很多在時(shí)間上離散的頻率，但是這樣的一個(gè)貼切的比喻真的是很難找出第二個(gè)來(lái)了。

因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續(xù)譜。那么連續(xù)譜是什么樣子呢？

你見(jiàn)過(guò)大海么？

為了方便大家對(duì)比，我們這次從另一個(gè)角度來(lái)看頻譜，還是傅里葉級(jí)數(shù)中用到最多的那幅圖，我們從頻率較高的方向

以上是離散譜，么連續(xù)譜是什么樣子呢？

盡情的發(fā)揮你的想象，想象這些離散的正弦波離得越來(lái)越近，逐漸變得連續(xù)……

直到變得像波濤起伏的大海：

很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到，我沒(méi)有選用正確的計(jì)算參數(shù)，而是選擇了一些讓圖片更美觀的參數(shù)，不然這圖看起來(lái)就像屎一樣了。

不過(guò)通過(guò)這樣兩幅圖去比較，大家應(yīng)該可以理解如何從離散譜變成了連續(xù)譜的了吧？原來(lái)離散譜的疊加，變成了連續(xù)譜的累積。所以在計(jì)算上也從求和符號(hào)變成了積分符號(hào)。

不過(guò)，這個(gè)故事還沒(méi)有講完，接下去，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的圖片，但是這里需要介紹到一個(gè)數(shù)學(xué)工具才能然故事繼續(xù)，這個(gè)工具就是——

五、宇宙耍帥第一公式：歐拉公式

虛數(shù)i這個(gè)概念大家在高中就接觸過(guò)，但那時(shí)我們只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意義是什么呢?

這里有一條數(shù)軸，在數(shù)軸上有一個(gè)紅色的線(xiàn)段，它的長(zhǎng)度是1。當(dāng)它乘以 3 的時(shí)候，它的長(zhǎng)度發(fā)生了變化，變成了藍(lán)色的線(xiàn)段，而當(dāng)它乘以-1 的時(shí)候，就變成了綠色的線(xiàn)段，或者說(shuō)線(xiàn)段在數(shù)軸上圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了 180 度。

我們知道乘-1 其實(shí)就是乘了兩次 i 使線(xiàn)段旋轉(zhuǎn)了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很簡(jiǎn)單——旋轉(zhuǎn)了 90 度。

同時(shí)，我們獲得了一個(gè)垂直的虛數(shù)軸。實(shí)數(shù)軸與虛數(shù)軸共同構(gòu)成了一個(gè)復(fù)數(shù)的平面，也稱(chēng)復(fù)平面。這樣我們就了解到，乘虛數(shù)i的一個(gè)功能——旋轉(zhuǎn)。

現(xiàn)在，就有請(qǐng)宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場(chǎng)——

這個(gè)公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的意義要遠(yuǎn)大于傅里葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因?yàn)樗奶厥庑问健?dāng)x等于 Pi 的時(shí)候。

經(jīng)常有理工科的學(xué)生為了跟妹子表現(xiàn)自己的學(xué)術(shù)功底，用這個(gè)公式來(lái)給妹子解釋數(shù)學(xué)之美：”石榴姐你看，這個(gè)公式里既有自然底數(shù)e，自然數(shù) 1 和0，虛數(shù)i還有圓周率 pi，它是這么簡(jiǎn)潔，這么美麗??！“但是姑娘們心里往往只有一句話(huà)：”臭屌絲……“

這個(gè)公式關(guān)鍵的作用，是將正弦波統(tǒng)一成了簡(jiǎn)單的指數(shù)形式。我們來(lái)看看圖像上的涵義：

歐拉公式所描繪的，是一個(gè)隨著時(shí)間變化，在復(fù)平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，隨著時(shí)間的改變，在時(shí)間軸上就成了一條螺旋線(xiàn)。如果只看它的實(shí)數(shù)部分，也就是螺旋線(xiàn)在左側(cè)的投影，就是一個(gè)最基礎(chǔ)的余弦函數(shù)。而右側(cè)的投影則是一個(gè)正弦函數(shù)。

關(guān)于復(fù)數(shù)更深的理解，大家可以參考：

復(fù)數(shù)的物理意義是什么？

這里不需要講的太復(fù)雜，足夠讓大家理解后面的內(nèi)容就可以了。

六、指數(shù)形式的傅里葉變換

有了歐拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線(xiàn)的疊加在實(shí)數(shù)空間的投影。而螺旋線(xiàn)的疊加如果用一個(gè)形象的栗子來(lái)理解是什么呢？

光波

高中時(shí)我們就學(xué)過(guò)，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著名的實(shí)驗(yàn)就是牛頓師傅的三棱鏡實(shí)驗(yàn)：

所以其實(shí)我們?cè)诤茉缇徒佑|到了光的頻譜，只是并沒(méi)有了解頻譜更重要的意義。

但不同的是，傅里葉變換出來(lái)的頻譜不僅僅是可見(jiàn)光這樣頻率范圍有限的疊加，而是頻率從 0 到無(wú)窮所有頻率的組合。

這里，我們可以用兩種方法來(lái)理解正弦波：

第一種前面已經(jīng)講過(guò)了，就是螺旋線(xiàn)在實(shí)軸的投影。

另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解：

將以上兩式相加再除2，得到：

這個(gè)式子可以怎么理解呢？

我們剛才講過(guò)，e^(it)可以理解為一條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線(xiàn)，那么 e^(-it)則可以理解為一條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線(xiàn)。而 cos (t)則是這兩條旋轉(zhuǎn)方向不同的螺旋線(xiàn)疊加的一半，因?yàn)檫@兩條螺旋線(xiàn)的虛數(shù)部分相互抵消掉了！

舉個(gè)例子的話(huà)，就是極化方向不同的兩束光波，磁場(chǎng)抵消，電場(chǎng)加倍。

這里，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱(chēng)為正頻率，而順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱(chēng)為負(fù)頻率（注意不是復(fù)頻率）。

好了，剛才我們已經(jīng)看到了大?！B續(xù)的傅里葉變換頻譜，現(xiàn)在想一想，連續(xù)的螺旋線(xiàn)會(huì)是什么樣子：

想象一下再往下翻：

是不是很漂亮？

你猜猜，這個(gè)圖形在時(shí)域是什么樣子？

哈哈，是不是覺(jué)得被狠狠扇了一個(gè)耳光。數(shù)學(xué)就是這么一個(gè)把簡(jiǎn)單的問(wèn)題搞得很復(fù)雜的東西。

順便說(shuō)一句，那個(gè)像大海螺一樣的圖，為了方便觀看，我僅僅展示了其中正頻率的部分，負(fù)頻率的部分沒(méi)有顯示出來(lái)。

如果你認(rèn)真去看，海螺圖上的每一條螺旋線(xiàn)都是可以清楚的看到的，每一條螺旋線(xiàn)都有著不同的振幅（旋轉(zhuǎn)半徑），頻率（旋轉(zhuǎn)周期）以及相位。而將所有螺旋線(xiàn)連成平面，就是這幅海螺圖了。

好了，講到這里，相信大家對(duì)傅里葉變換以及傅里葉級(jí)數(shù)都有了一個(gè)形象的理解了，我們最后用一張圖來(lái)總結(jié)一下：

好了，傅里葉的故事終于講完了，下面來(lái)講講我的故事：

這篇文章第一次被卸下來(lái)的地方你們絕對(duì)猜不到在哪，是在一張高數(shù)考試的卷子上。當(dāng)時(shí)為了刷分，我重修了高數(shù)（上），但是后來(lái)時(shí)間緊壓根沒(méi)復(fù)習(xí)，所以我就抱著裸考的心態(tài)去了考場(chǎng)。但是到了考場(chǎng)我突然意識(shí)到，無(wú)論如何我都不會(huì)比上次考的更好了，所以干脆寫(xiě)一些自己對(duì)于數(shù)學(xué)的想法吧。于是用了一個(gè)小時(shí)左右的時(shí)間在試卷上洋洋灑灑寫(xiě)了本文的第一草稿。

你們猜我的了多少分？

6 分

沒(méi)錯(cuò)，就是這個(gè)數(shù)字。而這 6 分的成績(jī)是因?yàn)樽詈笪覍?shí)在無(wú)聊，把選擇題全部填上了C，應(yīng)該是中了兩道，得到了這寶貴的 6 分。說(shuō)真的，我很希望那張卷子還在，但是應(yīng)該不太可能了。

那么你們猜猜我第一次信號(hào)與系統(tǒng)考了多少分呢？

45 分

沒(méi)錯(cuò)，剛剛夠參加補(bǔ)考的。但是我心一橫沒(méi)去考，決定重修。因?yàn)槟莻€(gè)學(xué)期在忙其他事情，學(xué)習(xí)真的就拋在腦后了。但是我知道這是一門(mén)很重要的課，無(wú)論如何我要吃透它。說(shuō)真的，信號(hào)與系統(tǒng)這門(mén)課幾乎是大部分工科課程的基礎(chǔ)，尤其是通信專(zhuān)業(yè)。

在重修的過(guò)程中，我仔細(xì)分析了每一個(gè)公式，試圖給這個(gè)公式以一個(gè)直觀的理解。雖然我知道對(duì)于研究數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，這樣的學(xué)習(xí)方法完全沒(méi)有前途可言，因?yàn)殡S著概念愈加抽象，維度越來(lái)越高，這種圖像或者模型理解法將完全喪失作用。但是對(duì)于一個(gè)工科生來(lái)說(shuō)，足夠了。

后來(lái)來(lái)了德國(guó)，這邊學(xué)校要求我重修信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)，我徹底無(wú)語(yǔ)了。但是沒(méi)辦法，德國(guó)人有時(shí)對(duì)中國(guó)人就是有種藐視，覺(jué)得你的教育不靠譜。所以沒(méi)辦法，再來(lái)一遍吧。

這次，我考了滿(mǎn)分，而及格率只有一半。

老實(shí)說(shuō)，數(shù)學(xué)工具對(duì)于工科生和對(duì)于理科生來(lái)說(shuō)，意義是完全不同的。工科生只要理解了，會(huì)用，會(huì)查，就足夠了。但是很多高校卻將這些重要的數(shù)學(xué)課程教給數(shù)學(xué)系的老師去教。這樣就出現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)老師講得天花亂墜，又是推理又是證明，但是學(xué)生心里就只有一句話(huà)：學(xué)這貨到底干嘛用的？

缺少了目標(biāo)的教育是徹底的失敗。

在開(kāi)始學(xué)習(xí)一門(mén)數(shù)學(xué)工具的時(shí)候，學(xué)生完全不知道這個(gè)工具的作用，現(xiàn)實(shí)涵義。而教材上有只有晦澀難懂，定語(yǔ)就二十幾個(gè)字的概念以及看了就眼暈的公式。能學(xué)出興趣來(lái)就怪了！

好在我很幸運(yùn)，遇到了大連海事大學(xué)的吳楠老師。他的課全程來(lái)看是兩條線(xiàn)索，一條從上而下，一條從下而上。先將本門(mén)課程的意義，然后指出這門(mén)課程中會(huì)遇到哪樣的問(wèn)題，讓學(xué)生知道自己學(xué)習(xí)的某種知識(shí)在現(xiàn)實(shí)中扮演的角色。然后再?gòu)幕A(chǔ)講起，梳理知識(shí)樹(shù)，直到延伸到另一條線(xiàn)索中提出的問(wèn)題，完美的銜接在一起！

這樣的教學(xué)模式，我想才是大學(xué)里應(yīng)該出現(xiàn)的。

最后，寫(xiě)給所有給我點(diǎn)贊并留言的同學(xué)。真的謝謝大家的支持，也很抱歉不能一一回復(fù)。因?yàn)橹鯇?zhuān)欄的留言要逐次加載，為了看到最后一條要點(diǎn)很多次加載。當(dāng)然我都堅(jiān)持看完了，只是沒(méi)辦法一一回復(fù)。

本文只是介紹了一種對(duì)傅里葉分析新穎的理解方法，對(duì)于求學(xué)，還是要踏踏實(shí)實(shí)弄清楚公式和概念，學(xué)習(xí)，真的沒(méi)有捷徑。但至少通過(guò)本文，我希望可以讓這條漫長(zhǎng)的路變得有意思一些。

最后，祝大家都能在學(xué)習(xí)中找到樂(lè)趣…