微分方程特解是什么 微分方程怎么設(shè)特解

微分方程的特解，微分方程的特解和微分方程滿足初始條件的特解有什么區(qū)別？微分方程特解。

本文導(dǎo)航

• 求微分方程特解的方法
• 微分方程和一般方程有什么區(qū)別
• 微分方程怎么設(shè)特解

求微分方程特解的方法

dy/dx - y = e^(2x) 一階線性微分方程

y = e^(∫dx)[∫e^(2x)e^(-∫dx)dx + C]

= e^x[∫e^xdx + C] = e^x(e^x+C)

y(0) = 1 代入得 C = 0，

特解 y = e^(2x)

微分方程和一般方程有什么區(qū)別

微分方程的特解是指滿足微分方程的一個(gè)解，它有很多個(gè)。滿足初始條件的特解是指既滿足微分方程，又滿足初始條件的那一個(gè)特解。

求滿足初始條件的特解時(shí)，不是先求出整個(gè)的通解再代入初始條件，而是相反。往往是定出解的結(jié)構(gòu)，用與微分方程對(duì)應(yīng)的微分方程（例如對(duì)應(yīng)的齊次微分方程）的通解作為通解的一部分，再找出本方程的一個(gè)特解，把二者相加求得本微分方程的通解。具體特解的求法，各不相同，有的假設(shè)成具有對(duì)應(yīng)通解的形式，有的再加上某一函數(shù)，有的假設(shè)為一定形式。具體情況具體分析。

微分方程怎么設(shè)特解

特解一般存在于形如方程這樣的二階常系數(shù)線性非齊次微分方程里。

當(dāng)f(x)=0時(shí)，該式稱為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，其特解為0。

當(dāng)f(x)≠0時(shí)，該式稱為二階常系數(shù)非線性齊次微分方程。由于f(x)的形式不同，其特解的形式也不同。

從上面的描述不難看出線性齊次方程是非線性齊次方程的一種特殊形式。對(duì)于線性齊次方程的求法大家都很熟悉，其解法是將二階常系數(shù)線性齊次微分方程化為一元二次代數(shù)方程，其解可根據(jù)對(duì)應(yīng)的特征方程根的不同情況求出。

求一個(gè)二階常系數(shù)齊次非線性方程的一般步驟主要分為四步：

(1)求特征根：將對(duì)應(yīng)的線性齊次微分方程化為特征方程(自變量y的幾階導(dǎo)就是r的幾次方)。例如的對(duì)應(yīng)特征方程為。

(2)求線性齊次方程的通解：根據(jù)特征方程的不同，其結(jié)果不同。a.若p2-4q>0，設(shè)λ1，λ2是特征方程的兩個(gè)不等實(shí)根，即λ1≠λ2，可得其通解為

b.若p2-4q=0，設(shè)λ1，λ2是特征方程的兩個(gè)相等實(shí)根，即λ1=λ2，可得其通解為

c.若p2-4q<0，設(shè)α±βi是特征方程的一對(duì)共軛復(fù)根，可得其通解為

(3)求非線性齊次方程的特解y*

(詳解見下個(gè)板塊）

(4)寫出常系數(shù)齊次非線性方程的通解。

由(2)(3)求出的

齊次線性方程的通解和特解

將其代入得：

非線性齊次方城的通解

=齊次線性方程的通解+特解。