怎么確定輪換對稱 如何證明重積分輪換對稱性

怎么解輪換對稱式？如何證明重積分輪換對稱性？如何去特值法判斷輪換對稱式？

本文導(dǎo)航

• 怎么解輪換對稱式
• 如何證明重積分輪換對稱性
• 如何去特值法判斷輪換對稱式

怎么解輪換對稱式

如果一個代數(shù)式中的字母按照某種次序輪換，所得代數(shù)式和原代

數(shù)式恒等，那么這個代數(shù)式叫做關(guān)于這些字母的輪換對稱式。

　　舉個例子來說吧：

(1)

對于曲面積分，積分曲面為u(x,y,z)=0，如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0，

也就是積分曲面的方程沒有變，那么在這個曲面上的積分

∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在這個曲面上的積分

∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在這個曲面上的積分

∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS

，同樣可以進(jìn)行多種其它的變換。

(2)

對于第二類曲面積分只是將dxdy也同時變換即可。比如：如果將函數(shù)u(x,y,z)=0中的x,y,z換成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在這個曲面上的積

分

∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx,

∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy.

(3)

將1中積分曲面中的z去掉，就變成了曲線積分滿足的輪換對稱性：積分曲線為u(x,y)=0，如果將函數(shù)u(x,y)=0中的x,y換成y,x后，仍滿足u(y,x)=

0，那么在這個曲線上的積分

∫∫f(x,y)ds=∫∫f(y,x)ds；實(shí)際上如果將函數(shù)u(x,y)=0中的x,y換成y,x后，仍滿足u(y,x)=0，則意味著積分曲線關(guān)于直線y=x對稱

。第二類和（2）總結(jié)相同。

(4)

二重積分和三重積分都和(1)的解釋類似，也是看積分域函數(shù)將x,y,z更換順序后，相當(dāng)于將坐標(biāo)軸重新命名，積分取間沒有發(fā)生變化，則被積函數(shù)作相應(yīng)變換后，積分值不變。

如何證明重積分輪換對稱性

值不變就是和變量符號無關(guān)，積分定義那里有。

輪轉(zhuǎn)對稱就是x換成y，積分部分實(shí)質(zhì)沒什么變化，只是形式變了。

真題有一個題考過，這是積分里面的技巧，往往這樣換之后可以處理掉抽象函數(shù)，從而順利積分。

如何去特值法判斷輪換對稱式

首先要說明的時,輪換式完整的叫法是輪換對稱式.因?yàn)閹缀紊蠈ΨQ除了軸對稱之外,還有中心對稱、旋轉(zhuǎn)對稱等,相應(yīng)地,在代數(shù)里對稱也有較多的對稱.這與我們?nèi)粘ＵZ言中的概念是有區(qū)別的. 下面指出輪換式和對稱式的區(qū)別：對稱式交換任意兩個變量的值,結(jié)果不變,如x+y+z； 輪換對稱式一定要輪換,例如x->y,y->z,z->x才能使結(jié)果不變,如(x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y,光換兩個不行. 第二個問題是分解因式的應(yīng)用,現(xiàn)舉實(shí)例如下： ①(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 ②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3 ③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz (1) 分析: 將原式看成X的多項(xiàng)式,可知 當(dāng)X=－Y時, 原式=(－Y＋Y＋Z)^5－(－Y)^5－Y^5－Z^5 =0 所以原式有因式(X＋Y),因?yàn)槭菍ΨQ式,所以原式還有因式(Y＋Z),(Z＋X) 設(shè)原式=(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)[K(X^2＋Y^2＋Z^2)＋T(XY＋YZ＋ZX)] 令X=1,Y=1,Z=0,代入得 30=2(2K＋T); 令X=1,Y=－1,Z=0,代入得－30=－2(5K－2T) 解得K=5,T=5 所以原式=5(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)(X^2＋Y^2＋Z^2＋XY＋YZ＋ZX) (2) 分析 設(shè)原式=[(2A＋2B＋2C)^3－(B＋C)^3]－[(C＋A)^3＋(A＋B)^3] 然后利用立方差和立方和公式展開,并令整理后的式子 =(2A＋B＋C)(M－N) 其中由輪換多項(xiàng)式可確定(M－N)中含有(A＋2B＋C),(A＋B＋2C) 比較系數(shù)的原式=3(2A＋B＋C) (A＋2B＋C)(A＋B＋2C) (3)分析 設(shè)X=Y＋Z,則有 原式=(X＋Y)^3＋Y^2(2Z＋Y)＋Z^2(2Y＋Z)－[(Y＋Z)^3＋Y^3＋Z^3]－2(Y＋Z)YZ =(Y＋Z)^3＋2Y^2Z＋Y^3＋2YZ^2＋Z^3－(Y＋Z)^3－Y^3－Z^3－2Y^2Z－2YZ^2=0 所以原式有因式(Y＋Z－X),因?yàn)閷ΨQ式,故也有因式(Z＋X－Y),(X＋Y－Z) 設(shè)原式=K(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y) 其中K為待定系數(shù),比較等式兩邊XYZ項(xiàng)的系數(shù) 右=K(1－1＋1－1－1－1)=－2K ,左=－2 所以解得K=1 所以原式=(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y) 對稱與輪換對稱很重要,以后一直到大學(xué)都很有用.