矩陣對角化是什么意思 矩陣相似對角化步驟
關于矩陣相似對角化的概念問題!,一個矩陣可以對角化是不是就是說這個矩陣是對角矩陣,矩陣可對角化的重要條件是什么?正交對角化是什么意思?和普通的對角化又啥區(qū)別?研究矩陣的相似對角化的意義,什么叫對角化?
本文導航
矩陣相似對角化步驟
能夠相似對角化有兩種可能
第一種:有N個不同的特征值
第二種:有相同的特征值,N重特征值有N個線性無關的特征向量。
兩種情況合二為一就是:有N個線性無關的特征向量。
所以說,A可相似對角化的話,n階方陣A的n個特征值不一定全都不相等,可能包含有重根在里面。
“可是A有n個互不相等的特征向量,也能推出A可相似對角化。但是!反過來就不行了.....”
不明白你的意思
矩陣可對角化的兩個必要條件
不能這么說的
除對角線上的元素外,其余的元素都是零的方陣,叫做對角矩陣。 這個是定義的
你說的這個,只能說明,它可對角化。
對稱矩陣可對角化的條件
n階方陣可進行對角化的重要條件是:
1、n階方陣存在n個線性無關的特征向量
推論:如果這個n階方陣有n個不同的特征值,那么矩陣必然存在相似矩陣
2、如果階n方陣存在重復的特征值,則每個特征值的線性無關的特征向量的個數(shù)等于該特征值的重
復次數(shù)。
擴展資料
特征值是線性代數(shù)中的一個重要概念。在數(shù)學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。設 A 是n階方陣,如果存在數(shù)m和非零n維列向量;x,使得 Ax=mx 成立,則稱 m 是A的一個特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬于(對應于)特征值m的特征向量或本征向量,簡稱A的特征向量或A的本征向量。
設A為n階矩陣,若存在常數(shù)λ及n維非零向量x,使得Ax=λx,則稱λ是矩陣A的特征值,x是A屬于特征值λ的特征向量。
參考資料百度百科-特征值
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對角化的計算步驟
正交對角化要求變換矩陣是正交矩陣,即在求特征值特征向量后要進行施密特正交化。
一般對角化無需施密特正交化,只要求出對應于特征值的特征向量即可
怎么判斷一個矩陣相似對角化
理論上看,意義是明顯的。相似是一種等價關系,對角化相當于對一類矩陣在相似意義下給出了一種簡單的等價形式,這對理論分析是方便的。相似的矩陣擁有很多相同的性質,比如特征多項式,特征根,行列式……如果只關心這類性質,那么相似的矩陣可以看作沒有區(qū)別的,這時研究一個一般的可對角化的矩陣,只要研究它的標準形式——一個對角矩陣就可以了。而對角矩陣是最簡單的一類矩陣,研究起來非常方便。這個過程相當于在一個等價類中選取最順眼的元素研究。
另外,對角化突出了矩陣的特征值,而過度矩陣T反映了特征向量的信息,對角化過程的直觀意義還是很明顯的。再結合正交矩陣的概念,可以得到一些不平凡的結論,例如實對稱矩陣總可以對角化。
實踐中的矩陣對角化作用也很大。別的不說,比如要算一個一般的3階實對稱矩陣A的n次冪,n較大時,按矩陣乘法定義去計算是相當繁瑣的,計算復雜度呈指數(shù)型增長。但是如果把A可以對角化(實對稱矩陣總是可以對角化的),寫為=T^(-1)PT,P是對角陣。那么A^n=T^(-1)P^nT,P^n的計算是很簡單的,只要把各特征值^n即可,此時計算A^n的復雜度幾乎與n無關。
以上純屬個人見解,僅供LZ參考:)
對角化與秩的關系
設M為元素取自交換體K中的n階方陣,將M對角化,就是確定一個對角矩陣D及一個可逆方陣P,使M=PDP。設f為典范對應于M的Kn的自同態(tài),將M對角化,就是確定Kn的一個基,使在該基中對應f的矩陣是對角矩陣。
對角矩陣是指只有主對角線上含有非零元素的矩陣,即,已知一個n×n矩陣 ,如果對于 ,則該矩陣為對角矩陣。如果存在一個矩陣 ,使 的結果為對角矩陣,則稱矩陣 將矩陣 對角化。對于一個矩陣來說,不一定存在將其對角化的矩陣,但是任意一個n×n矩陣如果存在n個線性不相關的特征向量,則該矩陣可被對角化