1 n為什么發(fā)散 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為什么n大于1

級數(shù)1/n為什么發(fā)散，當(dāng)n趨于無窮時不是0么？為什么級數(shù)1/n是發(fā)散的？為什么1/n是發(fā)散的？1/n為什么發(fā)散？1/n為什么是發(fā)散的？為什么1/n發(fā)散,1/n2收斂？

本文導(dǎo)航

• 級數(shù)n的立方分之一是收斂還是發(fā)散
• 為什么根號n分之一的級數(shù)是發(fā)散的
• 為什么級數(shù)n分之1收斂
• 根號n是收斂還是發(fā)散
• 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為什么n大于1
• n的平方1分之一收斂嗎

級數(shù)n的立方分之一是收斂還是發(fā)散

級數(shù)收斂的定義為：和的極限存在。1/n的和極限為+∞，即不存在，因此發(fā)散。

級數(shù)簡介

將數(shù)列un的項(xiàng) u1，u2，…，un，…依次用加號連接起來的函數(shù)。數(shù)項(xiàng)級數(shù)的簡稱。如:u1+u2+…+un+…，簡寫為∑un，un稱為級數(shù)的通項(xiàng)，記Sn=∑un稱之為級數(shù)的部分和。如果當(dāng)n→∞時 ，數(shù)列Sn有極限S，則說級數(shù)收斂，并以S為其和，記為∑un=S;否則就說級數(shù)發(fā)散。

級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具，在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都處于重要地位，這是因?yàn)?一方面能借助級數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù)，微分方程的解就常用級數(shù)表示;另一方面又可將函數(shù)表為級數(shù)，從而借助級數(shù)去研究函數(shù)，例如用冪級數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進(jìn)行近似計(jì)算等。

為什么根號n分之一的級數(shù)是發(fā)散的

中世紀(jì)后期的數(shù)學(xué)家Oresme在1360年就證明了這個級數(shù)是發(fā)散的。

他的方法很簡單：

1+1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...

1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

注意后一個級數(shù)每一項(xiàng)對應(yīng)的分?jǐn)?shù)都小于調(diào)和級數(shù)中每一項(xiàng)，而且后面級數(shù)的括號中的數(shù)值

和都為1/2，這樣的1/2有無窮多個，所以后一個級數(shù)是趨向無窮大的，進(jìn)而調(diào)和級數(shù)也是發(fā)

散的。

為什么級數(shù)n分之1收斂

“級數(shù)∑1/n，n=1,2，……，∞”是發(fā)散的。其證明過程可以是，

∵∑1/n=1+1/2+1/3+1/4+……=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+……+1/8)+(1/9+……+1/16)+(1/17+……+1/32)+……>1+1/2+2(1/4)+4(1/8)+8(1/16)+16(1/32)……=1+m/2+……，

當(dāng)n→∞時，m→∞，1+m/2→∞發(fā)散。∴級數(shù)∑1/n發(fā)散。

19世紀(jì)前，歐拉以及其他數(shù)學(xué)家廣泛地應(yīng)用發(fā)散級數(shù)，但經(jīng)常引出令人困惑與矛盾的結(jié)果。其中，主要的問題是歐拉的思想，即每個發(fā)散級數(shù)都應(yīng)有一個自然的和，而無需事先定義發(fā)散級數(shù)的和的含義?？挛髯罱K給出了（收斂）級數(shù)的和的嚴(yán)格定義，從這過后的一段時間，發(fā)散級數(shù)基本被排除在數(shù)學(xué)之外了。

直到1886年，它們才在龐加萊關(guān)于漸進(jìn)級數(shù)的工作中再次出現(xiàn)。在1890年，切薩羅意識到可以對一類發(fā)散級數(shù)的和給出嚴(yán)格定義，從而定義了切薩羅和。

根號n是收斂還是發(fā)散

可以這樣證明：

1如果數(shù)列Sn收斂,則Sn和S2n的極限一定是相等的,即limSn-limS2n=0

而我們來看數(shù)列Sn=1/n,在該數(shù)列中：

S2n-Sn=1/（n+1)+1/（n+2)+……+1/2n>1/2n+1/2n+……+1/2n=n*1/2n=1/2≠0

所以數(shù)列1/n是發(fā)散的.

這個知識在高數(shù)下冊無窮級數(shù)會講的.

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為什么n大于1

1/n是發(fā)散的證明過程如下：

∵∑1/n=1+1/2+1/3+1/4+……＝1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+……＋1/8)+(1/9+……＋1/16)+(1/17+……＋1/32)+……＞1+1/2+2(1/4)+4(1/8)+8(1/16)+16(1/32)……＝1+m/2+……，當(dāng)n→∞時，m→∞，1+m/2→∞發(fā)散?！嗉墧?shù)∑1/n發(fā)散。

將數(shù)列un的項(xiàng)u1，u2，…，un，依次用加號連接起來的函數(shù)，是數(shù)項(xiàng)級數(shù)的簡稱。如u1+u2+…＋un+…，簡寫為∑un，un稱為級數(shù)的通項(xiàng)，記Sn=∑un稱之為級數(shù)的部分和。如果當(dāng)n→∞時，數(shù)列Sn有極限S，則說級數(shù)收斂，并以S為其和，記為∑un=S；否則就說級數(shù)發(fā)散。

級數(shù)

級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具，在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都處于重要地位，一方面能借助級數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù)，微分方程的解就常用級數(shù)表示；另一方面又可將函數(shù)表為級數(shù)，從而借助級數(shù)去研究函數(shù)，例如用冪級數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進(jìn)行近似計(jì)算等。

級數(shù)的收斂問題是級數(shù)理論的基本問題。從級數(shù)的收斂概念可知，級數(shù)的斂散性是借助于其部分和數(shù)列Sm的斂散性來定義的。

因此可從數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則得出級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則：∑un收斂＜＝＞任意給定正數(shù)ε，必有自然數(shù)N，當(dāng)n>N，對一切自然數(shù)p，有｜u+u+…＋u|<ε，即充分靠后的任意一段和的絕對值可任意小。

n的平方1分之一收斂嗎

原因如下：

當(dāng)p>1時，p級數(shù)收斂；當(dāng)1≥p>0時，p級數(shù)發(fā)散。

形如1+1/2^p+1/3^p+…+1/n^p+…（p>0）的級數(shù)稱為p級數(shù)。

當(dāng)p=1時，得到著名的調(diào)和級數(shù)：1+1/2+1/3+…+1/n+…。p級數(shù)是重要的正項(xiàng)級數(shù)，它是用來判斷其它正項(xiàng)級數(shù)斂散性的重要級數(shù)。

交錯p級數(shù)：形如1-1/2^p+1/3^p-1/4^p+…+(-1)^(n-1)*1/n^p+…（p>0）的級數(shù)稱為交錯p級數(shù)。交錯p級數(shù)是重要的交錯級數(shù)。

柯西收斂準(zhǔn)則：

關(guān)于函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的收斂定義。對于任意實(shí)數(shù)b>0,存在c>0,對任意x1,x2滿足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收斂的定義方式很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分析的精神實(shí)質(zhì)。

如果給定一個定義在區(qū)間i上的函數(shù)列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 則由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴稱為定義在區(qū)間i上的（函數(shù)項(xiàng)）無窮級數(shù)，簡稱（函數(shù)項(xiàng)）級數(shù)。