方陣的特征向量是什么 特征向量和矩陣的關(guān)系

什么叫 矩陣的特征向量 和特征值？矩陣的特征向量怎么求？什么是特征向量？特征值？矩陣的特征值和特征向量，矩陣特征值與特征向量是什么？矩陣的特征值和特征向量是什么？

本文導(dǎo)航

• 特征向量和矩陣的關(guān)系
• 矩陣的特征向量
• 特征值和特征向量有關(guān)系嗎
• 各矩陣特征值和特征向量的關(guān)系
• 矩陣的特征向量和特征值應(yīng)用
• 三階矩陣的特征值和特征向量

特征向量和矩陣的關(guān)系

只說定義吧 [意義，太重要。用途，太多。幾句話說不清，不說了！]

n階方陣A,行列式|λE-A| [E是n階單位矩陣，λ是變量。這是λ的n次多項(xiàng)式，首

項(xiàng)系數(shù)是1] 叫做A的特征多項(xiàng)式，[f（λ）＝|λE-A|].f（λ）＝0的根（n

個(gè)），都叫A的特征值。

如果λ0是A的一個(gè)特征值，|λ0E-A|＝0，（λ0E-A）為降秩矩陣，線性方程組

（λ0E-A）X＝0 [X＝（x1,x2,……xn）′是未知的n維列向量] 必有非零解，

每個(gè)非零解就叫矩陣A的關(guān)于特征值λ0的一個(gè)特征向量。

[特征方法是線性代數(shù)的核心內(nèi)容之一，也是其他很多數(shù)學(xué)分支的重要內(nèi)容，可

要認(rèn)真對待了！]

矩陣的特征向量

矩陣的特征方程式是：

A * x = lamda * x

這個(gè)方程可以看出什么？矩陣實(shí)際可以看作一個(gè)變換，方程左邊就是把向量x變到另一個(gè)位置而已；右邊就是把向量x作了一個(gè)拉伸，拉伸量是lamda。那么它的意義就很明顯了，表達(dá)了矩陣A的一個(gè)特性就是這個(gè)矩陣可以把向量x拉長（或縮短）lamda倍，僅此而已。

任意給定一個(gè)矩陣A，并不是對所有的x它都能拉長（縮短）。凡是能被A拉長（縮短）的向量稱為A的特征向量(Eigenvector)；拉長（縮短）量就為這個(gè)特征向量對應(yīng)的特征值（Eigenvalue）。

值得注意的是，我們說的特征向量是一類向量，因?yàn)槿我庖粋€(gè)特征向量隨便乘以一個(gè)標(biāo)量結(jié)果肯定也滿足以上方程，當(dāng)然這兩個(gè)向量都可以看成是同一個(gè)特征向量，而且它們也都對應(yīng)同一個(gè)特征值。

如果特征值是負(fù)數(shù)，那說明了矩陣不但把向量拉長（縮短）了，而且讓向量指向了相反的方向。

擴(kuò)展資料

矩陣的意義上，先介紹幾個(gè)抽象概念：

1、核：

所有經(jīng)過變換矩陣后變成了零向量的向量組成的集合，通常用Ker(A)來表示。假如你是一個(gè)向量，有一個(gè)矩陣要來變換你，如果你不幸落在了這個(gè)矩陣的核里面，那么很遺憾轉(zhuǎn)換后你就變成了虛無的零。

特別指出的是，核是“變換”(Transform)中的概念，矩陣變換中有一個(gè)相似的概念叫“零空間”。有的材料在談到變換的時(shí)候使用T來表示，聯(lián)系到矩陣時(shí)才用A，本文把矩陣直接看作“變換”。核所在的空間定義為V空間，也就是全部向量原來在的空間。

2、值域：

某個(gè)空間中所有向量經(jīng)過變換矩陣后形成的向量的集合，通常用R（A）來表示。假設(shè)你是一個(gè)向量，有一個(gè)矩陣要來變換你，這個(gè)矩陣的值域表示了你將來可能的位置，你不可能跑到這些位置之外。值域的維度也叫做秩（Rank）。值域所在的空間定義為W空間。W空間中不屬于值域的部分等會兒我們會談到。

3、空間：

向量加上加、乘運(yùn)算構(gòu)成了空間。向量可以（也只能）在空間中變換。使用坐標(biāo)系（基）在空間中描述向量。

不管是核還是值域，它們都是封閉的。意思是如果你和你的朋友困在核里面，你們不管是相加還是相乘都還會在核里面，跑不出去。這就構(gòu)成了一個(gè)子空間。值域同理。

特征值和特征向量有關(guān)系嗎

設(shè)置方程：

將A分別作用在u和v上，也就是計(jì)算Au和Av：

畫個(gè)圖就是：

Av=2v，A對v的作用，僅僅是將v延長了，這個(gè)系數(shù)2就叫特征值；而被矩陣A延長的向量(2,1)，就是特征向量。下面給出數(shù)學(xué)定義。A為nxn矩陣，x為非零向量。若存在數(shù)λ，使Ax=λx成立，則稱λ為A的特征值，x稱為對應(yīng)于λ的特征向量。

特征值有兩個(gè)很特別的規(guī)律，分別是：

1、特征值的和，等于矩陣對角線的和（跡）。

2、特征值的積，等于矩陣的行列式。

擴(kuò)展資料：

定理

譜定理在有限維的情況，將所有可對角化的矩陣作了分類：它顯示一個(gè)矩陣是可對角化的，當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)正規(guī)矩陣。注意這包括自共軛（厄爾米特）的情況。這很有用，因?yàn)閷腔仃嘥的函數(shù)f(T)（譬如波萊爾函數(shù)f）的概念是清楚的。

在采用更一般的矩陣的函數(shù)的時(shí)候譜定理的作用就更明顯了。例如，若f是解析的，則它的形式冪級數(shù)，若用T取代x，可以看作在矩陣的巴拿赫空間中絕對收斂。譜定理也允許方便地定義正算子的唯一的平方根。

譜定理可以推廣到希爾伯特空間上的有界正規(guī)算子，或者無界自共軛算子的情況。

求特征值，描述正方形矩陣的特征值的重要工具是特征多項(xiàng)式，λ是A的特征值等價(jià)于線性方程組(A – λI) v = 0 （其中I是單位矩陣）有非零解v (一個(gè)特征向量)，因此等價(jià)于行列式|A – λI|=0; 。

函數(shù)p(λ) = det(A – λI)是λ的多項(xiàng)式，因?yàn)樾辛惺蕉x為一些乘積的和，這就是A的特征多項(xiàng)式。矩陣的特征值也就是其特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)。

一個(gè)矩陣A的特征值可以通過求解方程pA(λ) = 0來得到。 若A是一個(gè)n×n矩陣，則pA為n次多項(xiàng)式，因而A最多有n個(gè)特征值。

反過來，代數(shù)基本定理說這個(gè)方程剛好有n個(gè)根，如果重根也計(jì)算在內(nèi)的話。所有奇數(shù)次的多項(xiàng)式必有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因此對于奇數(shù)n，每個(gè)實(shí)矩陣至少有一個(gè)實(shí)特征值。在實(shí)矩陣的情形，對于偶數(shù)或奇數(shù)的n，非實(shí)數(shù)特征值成共軛對出現(xiàn)。

求特征向量，一旦找到特征值λ，相應(yīng)的特征向量可以通過求解特征方程(A – λI) v = 0 得到，其中v為待求特征向量，I為單位陣。沒有實(shí)特征值的一個(gè)矩陣的例子是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。

參考資料：百度百科-特征向量

各矩陣特征值和特征向量的關(guān)系

矩陣是一個(gè)非常抽象的數(shù)學(xué)概念，很多同學(xué)都對其望而生畏。但是，如果能夠具體的理解了內(nèi)部含義，就如同打開了一扇新的大門。

本文主要講的是特征向量（Eigenvector）和特征值（Eigenvalue）。

01 特征向量（Eigenvector）是什么？

基向量

我們一般研究數(shù)學(xué)，都是在直角坐標(biāo)系中，這就造就了兩個(gè)基向量：v（0,1）和 u（1,0）。

為了說明特征向量，我們先看一下矩陣A和向量B（1，-1）：

矩陣A

如果將A和B相乘，結(jié)果如下：

AB和2B

AB

矩陣實(shí)際上可以被看作為一個(gè)變換，AB實(shí)際上表達(dá)的意思是 向量B 通過矩陣A完成了一次變換，有可能只是拉伸，有可能是旋轉(zhuǎn)，有可能兩者都有。

2B

上圖中，2B的理解就簡單很多，是將向量B拉長2倍。

那么，特征向量的定義如下：

任意給定一個(gè)矩陣A，并不是對所有的向量B都能被A拉長（縮短）。凡是能被A拉長（縮短）的向量稱為A的特征向量(Eigenvector)；拉長（縮短）量就為這個(gè)特征向量對應(yīng)的特征值（Eigenvalue）。

上例中，B就是矩陣A的特征向量，2是特征值。

特征值的求法

02 怎么求矩陣的平方和多次方

矩陣A

還是矩陣A，如果讓你求矩陣A的平方，你可能會覺得挺容易的。

但是，如果讓你求A的100次方呢？

還有那么容易嗎？

按照上面的方法，一點(diǎn)規(guī)律沒有，只能硬著頭皮算。

補(bǔ)充一個(gè)概念：對角矩陣

對角矩陣

對角矩陣，顧名思義，只有對角線上有值，其他位置都是0。為什么對角矩陣特殊，如上圖，C的平方就是對角線上數(shù)的平方，多次方也一樣。

那么，怎么才能將矩陣A轉(zhuǎn)變成矩陣C呢？

這就用到特征值和特征向量了。

A的特征值

A有兩個(gè)特征值，對應(yīng)兩個(gè)特征向量：（1,0）和（1，-1）。

如果我們將兩個(gè)特征向量看作是一個(gè)新的坐標(biāo)系的基向量，并組合成矩陣D：

矩陣的特征向量和特征值應(yīng)用

如下：

n階方陣A，行列式|λE-A| [E是n階單位矩陣，λ是變量。這是λ的n次多項(xiàng)式，首項(xiàng)系數(shù)是1] 叫做A的特征多項(xiàng)式，[f（λ）＝|λE-A|].f（λ）＝0的根（n個(gè)），都叫A的特征值。

如果λ0是A的一個(gè)特征值，|λ0E-A|＝0，（λ0E-A）為降秩矩陣，線性方程組（λ0E-A）X＝0 [X＝（x1,x2,……xn）′是未知的n維列向量] 必有非零解，每個(gè)非零解就叫矩陣A的關(guān)于特征值λ0的一個(gè)特征向量。

在三維空間中，旋轉(zhuǎn)矩陣有一個(gè)等于單位1的實(shí)特征值。旋轉(zhuǎn)矩陣指定關(guān)于對應(yīng)的特征向量的旋轉(zhuǎn)(歐拉旋轉(zhuǎn)定理)。如果旋轉(zhuǎn)角是 θ，則旋轉(zhuǎn)矩陣的另外兩個(gè)(復(fù)數(shù))特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。從而得出 3 維旋轉(zhuǎn)的跡數(shù)等于 1 + 2 cos(θ)，這可用來快速的計(jì)算任何 3 維旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角。

3 維旋轉(zhuǎn)矩陣的生成元是三維斜對稱矩陣。因?yàn)橹恍枰齻€(gè)實(shí)數(shù)來指定 3 維斜對稱矩陣，得出只用三個(gè)是實(shí)數(shù)就可以指定一個(gè) 3 維旋轉(zhuǎn)矩陣。

三階矩陣的特征值和特征向量

如下：

n階方陣A，行列式|λE-A| [E是n階單位矩陣，λ是變量。這是λ的n次多項(xiàng)式，首項(xiàng)系數(shù)是1] 叫做A的特征多項(xiàng)式，[f（λ）＝|λE-A|].f（λ）＝0的根（n個(gè)），都叫A的特征值。

如果λ0是A的一個(gè)特征值，|λ0E-A|＝0，（λ0E-A）為降秩矩陣，線性方程組（λ0E-A）X＝0 [X＝（x1,x2,……xn）′是未知的n維列向量] 必有非零解，每個(gè)非零解就叫矩陣A的關(guān)于特征值λ0的一個(gè)特征向量。

在三維空間中，旋轉(zhuǎn)矩陣有一個(gè)等于單位1的實(shí)特征值。旋轉(zhuǎn)矩陣指定關(guān)于對應(yīng)的特征向量的旋轉(zhuǎn)(歐拉旋轉(zhuǎn)定理)。如果旋轉(zhuǎn)角是 θ，則旋轉(zhuǎn)矩陣的另外兩個(gè)(復(fù)數(shù))特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。從而得出 3 維旋轉(zhuǎn)的跡數(shù)等于 1 + 2 cos(θ)，這可用來快速的計(jì)算任何 3 維旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角。

特征向量是在矩陣變換下只進(jìn)行“規(guī)則”變換的向量，這個(gè)“規(guī)則”就是特征值。特征向量反映了線性變換的方向，這這幾個(gè)方向上線性變換只導(dǎo)致伸縮，沒有旋轉(zhuǎn)；特征值反映線性變換在這幾個(gè)方向上導(dǎo)致的伸縮的大小。