格林公式怎么理解 怎樣理解格林公式和高斯公式？

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本文導(dǎo)航

• 格林公式，高斯怎么理解呀，說(shuō)通俗點(diǎn)~~
• 格林公式是什么意思？怎么得來(lái)的？
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• 怎樣理解格林公式和高斯公式？
• 格林公式的幾何意義是什么？

格林公式，高斯怎么理解呀，說(shuō)通俗點(diǎn)~~

格林公式表達(dá)了平面閉區(qū)域上二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系，而高斯公式表達(dá)了空間比區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系。

其實(shí)格林公式就是二重積分與曲線積分之間的轉(zhuǎn)換，而高斯公式就是三重積分與曲面積分的轉(zhuǎn)換；

而斯托克公式是格林公式的推廣，把曲面積分與沿曲面邊界的曲線積分聯(lián)系起來(lái)。注意斯托克公式中，若邊界L在xoy面上，則有dz=0.即得到了格林公式。

格林公式是什么意思？怎么得來(lái)的？

,格林公式 一元微積分學(xué)中最基本的公式 — 牛頓,萊布尼茲公式 表明:函數(shù)在區(qū)間上的定積分可通過(guò)原函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處的值來(lái)表示. 無(wú)獨(dú)有偶,在平面區(qū)域上的二重積分也可以通過(guò)沿區(qū)域的邊界曲線上的曲線積分來(lái)表示,這便是我們要介紹的格林公式. 1,單連通區(qū)域的概念 設(shè)為平面區(qū)域,如果內(nèi)任一閉曲線所圍的部分區(qū)域都屬于,則稱為平面單連通區(qū)域;否則稱為復(fù)連通區(qū)域. 通俗地講,單連通區(qū)域是不含"洞"(包括"點(diǎn)洞")與"裂縫"的區(qū)域. 2,區(qū)域的邊界曲線的正向規(guī)定 設(shè)是平面區(qū)域的邊界曲線,規(guī)定的正向?yàn)?當(dāng)觀察者沿的這個(gè)方向行走時(shí),內(nèi)位于他附近的那一部分總在他的左邊. 簡(jiǎn)言之:區(qū)域的邊界曲線之正向應(yīng)適合條件,人沿曲線走,區(qū)域在左手. 3,格林公式 【定理】設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成,函數(shù)及在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有 (1) 其中是的取正向的邊界曲線. 公式(1)叫做格林(green)公式. 【證明】先證 假定區(qū)域的形狀如下(用平行于軸的直線穿過(guò)區(qū)域,與區(qū)域邊界曲線的交點(diǎn)至多兩點(diǎn)) 易見(jiàn),圖二所表示的區(qū)域是圖一所表示的區(qū)域的一種特殊情況,我們僅對(duì)圖一所表示的區(qū)域給予證明即可. 另一方面,據(jù)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分性質(zhì)與計(jì)算法有 因此 再假定穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部且平行于軸的直線與的的邊界曲線的交點(diǎn)至多是兩點(diǎn),用類(lèi)似的方法可證 綜合有 當(dāng)區(qū)域的邊界曲線與穿過(guò)內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸( 軸或軸 )的任何直線的交點(diǎn)至多是兩點(diǎn)時(shí),我們有 , 同時(shí)成立. 將兩式合并之后即得格林公式 注:若區(qū)域不滿足以上條件,即穿過(guò)區(qū)域內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸的直線與邊界曲線的交點(diǎn)超過(guò)兩點(diǎn)時(shí),可在區(qū)域內(nèi)引進(jìn)一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個(gè)部分區(qū)域,使得每個(gè)部分區(qū)域適合上述條件,仍可證明格林公式成立. 格林公式溝通了二重積分與對(duì)坐標(biāo)的曲線積分之間的聯(lián)系,因此其應(yīng)用十分地廣泛. 若取,, ,則格林公式為 故區(qū)域的面積為 【例1】求星形線 所圍成的圖形面積. 解:當(dāng)從變到時(shí),點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛎璩隽苏麄€(gè)封閉曲線,故 【例2】設(shè)是任意一條分段光滑的閉曲線,證明 證明:這里 , 從而 這里是由所圍成的區(qū)域. 二,平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 1,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義 【定義一】設(shè)是一個(gè)開(kāi)區(qū)域, 函數(shù),在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),如果對(duì)于內(nèi)任意兩點(diǎn),以及內(nèi)從點(diǎn)到點(diǎn)的任意兩條曲線,,等式 恒成立,就稱曲線積分在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān);否則,稱與路徑有關(guān). 定義一還可換成下列等價(jià)的說(shuō)法 若曲線積分與路徑無(wú)關(guān), 那么 即: 在區(qū)域內(nèi)由所構(gòu)成的閉合曲線上曲線積分為零.反過(guò)來(lái),如果在區(qū)域內(nèi)沿任意閉曲線的曲線積分為零,也可方便地導(dǎo)出在內(nèi)的曲線積分與路徑無(wú)關(guān). 【定義二】曲線積分在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)是指,對(duì)于內(nèi)任意一條閉曲線,恒有 . 2,曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 【定理】設(shè)開(kāi)區(qū)域是一個(gè)單連通域, 函數(shù),在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的充分必要條件是等式 在內(nèi)恒成立. 證明:先證充分性 在內(nèi)任取一條閉曲線,因單連通,故閉曲線所圍成的區(qū)域全部在內(nèi).從而 在上恒成立. 由格林公式,有 依定義二,在內(nèi)曲線積分與路徑無(wú)關(guān). 再證必要性(采用反證法) 假設(shè)在內(nèi)等式不恒成立,那么內(nèi)至少存在一點(diǎn),使 不妨設(shè) 由于在內(nèi)連續(xù),在內(nèi)存在一個(gè)以為圓心,半徑充分小的圓域,使得在上恒有 由格林公式及二重積分性質(zhì)有 這里是的正向邊界曲線,是的面積. 這與內(nèi)任意閉曲線上的曲線積分為零的條件相矛盾.故在內(nèi)等式 應(yīng)恒成立. 注明:定理所需要的兩個(gè)條件 缺一不可. 【反例】討論 ,其中是包圍原點(diǎn)的一條分段光滑曲線且正向是逆時(shí)針的. 這里 , 除去原點(diǎn)外,在所圍成的區(qū)域內(nèi)存在,連續(xù),且 . 在內(nèi),作一半徑充分小的圓周 在由與所圍成的復(fù)連通域內(nèi)使用格林公式有 三,二元函數(shù)的全微分求積 若曲線積分在開(kāi)區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),那它僅與曲線的起點(diǎn)與終點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān).假設(shè)曲線的起點(diǎn)為,終點(diǎn)為,可用記號(hào) 或 來(lái)表示,而不需要明確地寫(xiě)出積分路徑. 顯然,這一積分形式與定積分非常相似, 事實(shí)上,我們有下列重要定理 【定理一】設(shè)是一個(gè)單連通的開(kāi)區(qū)域,函數(shù),在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且 ,則 是的單值函數(shù),這里為內(nèi)一固定點(diǎn),且 亦即 【證明】依條件知,對(duì)內(nèi)任意一條以點(diǎn)為起點(diǎn),點(diǎn)為終點(diǎn)的曲線,曲線積分 與路徑無(wú)關(guān),僅與的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān),亦即, 確為點(diǎn)的單值函數(shù). 下面證明 由于可以認(rèn)為是從點(diǎn)沿內(nèi)任何路徑到點(diǎn)的曲線積分,取如下路徑,有 類(lèi)似地可證明 因此 【定理二】設(shè)是單連通的開(kāi)區(qū)域,,在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)為某一函數(shù)全微分的充要條件是 在內(nèi)恒成立. 【證明】顯然,充分性就是定理一 下面證明必要性 若存在使得 ,則 由于,在 內(nèi)連續(xù), 則二階混合偏導(dǎo)數(shù)適合等式 從而 【定理三】設(shè)是一個(gè)單連通的開(kāi)區(qū)域, 函數(shù),在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 若存在二元函數(shù)使得 則 其中,是內(nèi)的任意兩點(diǎn). 【證明】由定理1知,函數(shù) 適合 于是 或 因此(是某一常數(shù) ) 即 而 這是因?yàn)橛牲c(diǎn)沿任意內(nèi)的路徑回到點(diǎn)構(gòu)成一條封閉曲線,故 因此□ 【確定的全微分函數(shù)的方法】 因?yàn)?而右端的曲線積分與路徑無(wú)關(guān),為了計(jì)算簡(jiǎn)便,可取平行于坐標(biāo)軸的直線段所連成的折線作為積分路徑(當(dāng)然折線應(yīng)完全屬于單連通區(qū)域). ------------------------------------------------------- 上面這個(gè)詞條無(wú)公式，無(wú)圖，完全不可能看得懂，本人附上詳細(xì)的格林公式及其證明的Word版，請(qǐng)自己下載觀看。 格林公式證明鏈接（Word版）： http://www.jyu.edu.cn/shuxue/math/kecheng/course/shuxuefenxi/jiaoan/21/21_3.doc

怎樣理解格林公式和高斯公式

可以這樣理解

1.格林公式是將一重線積分和二重面積分相互轉(zhuǎn)換的公式，就是面積分和邊界的積分轉(zhuǎn)換的公式。因?yàn)槭褂酶窳止绞怯袟l件的，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是所積函數(shù)偏導(dǎo)連續(xù)，區(qū)域閉合，且化為線積分時(shí)有方向要求，所以格林公式可以理解為第二類(lèi)曲線積分的特殊情況。

2.高斯公式是二重積分和三重積分的相互轉(zhuǎn)換，類(lèi)似上面說(shuō)的，因?yàn)橐笫怯薪玳]區(qū)域，且化為面積分時(shí)要求為外側(cè)，所以可以理解為第二類(lèi)曲面積分的特殊情況。

理解方法不唯一，關(guān)鍵還是要把握住定義，希望對(duì)你有幫助。

格林公式的理解

格林公式把第二類(lèi)曲面積分轉(zhuǎn)換為二重積分。

因?yàn)榈诙?lèi)曲線積分的積分路徑是有方向的，所以格林公式需要考慮正、反向，書(shū)上公式是在正向也就是逆時(shí)針?lè)较驐l件下給出的。如果積分曲線的路徑是順時(shí)針?lè)较?，那么最后結(jié)果得加個(gè)負(fù)號(hào)

怎樣理解格林公式和高斯公式？

首先要知道三個(gè)公式的區(qū)別了格林公式研究的是把平面第二類(lèi)曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分來(lái)做,但是要注意正方向的選取,以及平面單連通和平面復(fù)連通,有時(shí)需要取輔助線構(gòu)成封閉曲線的,但是要計(jì)算輔助曲線的曲線積分,因?yàn)榇藭r(shí)的格林公式值是由兩條曲線疊加后產(chǎn)生的,這個(gè)很重要,因?yàn)榉e分與路徑無(wú)關(guān)都要涉及到平面復(fù)連通和單連通的計(jì)算……斯托克斯公式就是格林公式在空間內(nèi)的推廣,既然格林公式研究的是平面內(nèi)的第二類(lèi)曲線積分,那么斯托克斯公式研究的就是空間內(nèi)的第二類(lèi)曲線積分,要知道邊界曲線正方向和曲面正方向成右手定則關(guān)系的……

格林公式的幾何意義是什么？

是這樣的，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)兩個(gè)函數(shù)構(gòu)成了格林公式的核心我們可以將兩個(gè)函數(shù)組裝為一個(gè)復(fù)向量，即一個(gè)新的函數(shù)，這樣就是2維平面上的每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)向量這就像一個(gè)地圖上的水流流速圖（或者風(fēng)向圖，想想一張圖上布滿了小箭頭），如果我們說(shuō)P，Q都是連續(xù)的，即地圖上的水流在相應(yīng)方向是連續(xù)的。有了這個(gè)有現(xiàn)實(shí)意義的理解我們就來(lái)看格林公式吧：這個(gè)東西是什么，他是復(fù)變函數(shù)W(x,y)的C-R方程。也許你不懂？那你知道一點(diǎn)就好了，如果這個(gè)東西等于0，則說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)以及周?chē)悬c(diǎn)都是是可導(dǎo)的（暫且先這么理解，不準(zhǔn)確）。所以積分結(jié)果就是所有不可導(dǎo)的點(diǎn)的C-R和。知道這些我們就可以說(shuō)說(shuō)格林公式的幾何含義了：P和Q組成了W，即一個(gè)水流流速圖。如果某個(gè)點(diǎn)水流的流速和周?chē)皇沁B續(xù)的，它就是一個(gè)出水口或者入水口，他的C-R方程值是流入流出水流的速度。格林公式就是這樣的：對(duì)于一個(gè)水流流速圖，區(qū)域內(nèi)所有出水口入水口的流入或流出的水的速度和，就是你在區(qū)域邊界所得到的流入或流出的水的速度和。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)講：對(duì)于一個(gè)有源流量場(chǎng)，其區(qū)域內(nèi)流量源流入流出速度的和，等于區(qū)域邊界流速的和。