什么是有界而不收斂 高等數(shù)學(xué)收斂和發(fā)散的定義

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本文導(dǎo)航

• 高等數(shù)學(xué)收斂和發(fā)散的定義
• 無(wú)界意味著無(wú)窮大嗎
• 數(shù)列的收斂有界性
• 無(wú)界函數(shù)不一定是收斂函數(shù)
• 怎樣判斷是絕對(duì)收斂還是條件收斂
• 收斂數(shù)列有界性通俗解釋

高等數(shù)學(xué)收斂和發(fā)散的定義

一、兩者的性質(zhì)不同：

1、有界的性質(zhì)：

（1）單調(diào)性：閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必有界。其逆命題不成立。

（2）連續(xù)性：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界。其逆命題不成立。

（3）可積性：閉區(qū)間上的可積函數(shù)必有界。其逆命題不成立。

2、收斂的性質(zhì)：

（1）全局收斂：對(duì)于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所產(chǎn)生的點(diǎn)列收斂，即其當(dāng)k→∞時(shí)，Xk的極限趨于X*，則稱(chēng)Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收斂于X*。

（2）局部收斂：若存在X*在某鄰域R={X| |X-X*|<δ},對(duì)任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所產(chǎn)生的點(diǎn)列收斂，則稱(chēng)Xk+1=φ（Xk）在R上收斂于X*。

二、兩者的概述不同：

1、有界的概述：若存在兩個(gè)常數(shù)m和M，使函數(shù)y=f(x),x∈D 滿(mǎn)足m≤f(x)≤M,x∈D 。 則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

2、收斂的概述：是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具，是指會(huì)聚于一點(diǎn)，向某一值靠近。收斂類(lèi)型有收斂數(shù)列、函數(shù)收斂、全局收斂、局部收斂。

三、兩者的意義不同：

1、有界的意義：根據(jù)確界原理，?在定義域上有上（下）確界。一個(gè)特例是有界數(shù)列，其中X是所有自然數(shù)所組成的集合N。由? (x)=sinx所定義的函數(shù)f:R→R是有界的。當(dāng)x越來(lái)越接近-1或1時(shí)，函數(shù)的值就變得越來(lái)越大。

2、收斂的意義：數(shù)學(xué)分析的基本概念之一，它與“有確定的(或有限的)極限”同義，“收斂于……”相當(dāng)于說(shuō)“極限是……(確定的點(diǎn)或有限的數(shù))”。

有界不一定收斂，因?yàn)橛薪绾瘮?shù)并不一定是連續(xù)的。

參考資料來(lái)源：百度百科-有界

參考資料來(lái)源：百度百科-有界函數(shù)

參考資料來(lái)源：百度百科-收斂（數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)名詞）

參考資料來(lái)源：百度百科-收斂性

無(wú)界意味著無(wú)窮大嗎

有界不一定收斂是指此數(shù)列或函數(shù)存在上下限，但沒(méi)有一種趨勢(shì)是趨向于某一個(gè)確定的數(shù)，就像正弦函數(shù)一樣，雖然有正負(fù)1給它作為上下限，但隨著x的變化，函數(shù)值沒(méi)有趨向于一個(gè)確定的1一樣。

收斂一定有界指的是此數(shù)列或函數(shù)存在一個(gè)趨勢(shì)，這個(gè)趨勢(shì)的極限是一個(gè)確定的值，就像反比例函數(shù)一樣。

收斂數(shù)列一定有界（反證,假設(shè)無(wú)界,肯定不收斂） ，有界數(shù)列不一定收斂（反例,數(shù)列{(-1)^n}是有界的,但它卻是發(fā)散的）。

關(guān)于函數(shù)的有界性．應(yīng)注意：函數(shù)在某區(qū)間上不是有界就是無(wú)界，二者必屬其一。

從幾何學(xué)的角度很容易判別一個(gè)函數(shù)是否有界，如果找不到兩條與x軸平行的直線(xiàn)使得函數(shù)的圖形介于它們之間，那么函數(shù)一定是無(wú)界的。

若存在兩個(gè)常數(shù)m和M，使函數(shù)y=f(x),x∈D 滿(mǎn)足m≤f(x)≤M,x∈D 。 則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

數(shù)列的收斂有界性

有界不一定收斂是指此數(shù)列或函數(shù)存在上下限，但沒(méi)有一種趨勢(shì)是趨向于某一個(gè)確定的數(shù)，就像正弦函數(shù)一樣，雖然有正負(fù)1給它作為上下限，但隨著x的變化，函數(shù)值沒(méi)有趨向于一個(gè)確定的1一樣。

收斂一定有界指的是此數(shù)列或函數(shù)存在一個(gè)趨勢(shì)，這個(gè)趨勢(shì)的極限是一個(gè)確定的值，就像反比例函數(shù)一樣。

收斂數(shù)列一定有界（反證，假設(shè)無(wú)界，肯定不收斂）。

有界數(shù)列不一定收斂（反例，數(shù)列｛(-1)^n}是有界的，但它卻是發(fā)散的）。

有極限（極限不為無(wú)窮）就是收斂，沒(méi)有極限（極限為無(wú)窮）就是發(fā)散。

例如：f（x）=1/x 當(dāng)x趨于無(wú)窮是極限為0，所以收斂。

f（x）= x 當(dāng)x趨于無(wú)窮是極限為無(wú)窮，即沒(méi)有極限，所以發(fā)散。

在數(shù)學(xué)分析中，與收斂（convergence)相對(duì)的概念就是發(fā)散(divergence)。

無(wú)界函數(shù)不一定是收斂函數(shù)

有界函數(shù)不一定收斂。

收斂函數(shù)一定有界但是有界函數(shù)不一定收斂，如f(x)在x=0處f(0)=2，在其他x處f(x)=1，那么f(x)在x=0處就不是收斂的，那么f(x)就不是收斂函數(shù)，但是f(x)是有界的，因?yàn)?≤f(x)≤2。如x趨于無(wú)窮時(shí)有界函數(shù)sinx不收斂。單調(diào)有界函數(shù)一定收斂。

性質(zhì)

函數(shù)的有界性與其他函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系函數(shù)的性質(zhì)：有界性，單調(diào)性，周期性，連續(xù)性，可積性。單調(diào)性閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必有界。其逆命題不成立；連續(xù)性閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界。其逆命題不成立；可積性閉區(qū)間上的可積函數(shù)必有界。其逆命題不成立。

有界函數(shù)并不一定是連續(xù)的。根據(jù)定義，?在D上有上（下）界，則意味著值域?（D)是一個(gè)有上（下）界的數(shù)集。根據(jù)確界原理，?在定義域上有上（下）確界。

一個(gè)特例是有界數(shù)列，其中X是所有自然數(shù)所組成的集合N。由?（x)=sinx所定義的函數(shù)f:R→R是有界的。當(dāng)x越來(lái)越接近－1或1時(shí)，函數(shù)的值就變得越來(lái)越大。

怎樣判斷是絕對(duì)收斂還是條件收斂

有界數(shù)列不一定收斂。例如，已知數(shù)列{(-1)^n}是有界的，但它卻是發(fā)散的。換句話(huà)說(shuō)，有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。又例如數(shù)列{b(n)}，b(n)=(-1)^n，|b(n)|<=1{b(n)}有界，b(n)為擺動(dòng)數(shù)列，但是不收斂。

有界數(shù)列和收斂的區(qū)別有以下兩點(diǎn)：

1、收斂數(shù)列一定是有界數(shù)列，有界數(shù)列不一定是收斂數(shù)列。

2、收斂數(shù)列趨向于一個(gè)定值，有界數(shù)列趨向于一個(gè)極限值。

有界數(shù)列：

有界數(shù)列，是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的定理，是指任一項(xiàng)的絕對(duì)值都小于等于某一正數(shù)的數(shù)列。有界數(shù)列是指數(shù)列中的每一項(xiàng)均不超過(guò)一個(gè)固定的區(qū)間，其中分上界和下界。

假設(shè)存在定值a，任意n有｛An（n為下角標(biāo)，下同）＝B，稱(chēng)數(shù)列｛An}有下界B，如果同時(shí)存在A、B時(shí)的數(shù)列｛An}的值在區(qū)間［A,B]內(nèi)，數(shù)列有界。

收斂數(shù)列有界性通俗解釋

收斂的數(shù)列{Sn}必定有界。因?yàn)閨Sn-s|a)--->-es-e<Sn<s+e，說(shuō)明{Sn}的項(xiàng)(除開(kāi)始的幾項(xiàng)以外)都在有限區(qū)間(s-e，s+e)內(nèi)，因而有界。;

有界的數(shù)列未必收斂。例如數(shù)列：1，-1，1，-1，......的所有項(xiàng)的值都在0與2之間，是有界的，但是卻不趨向于任何實(shí)數(shù)，因而無(wú)極限就是不收斂。

一、有界函數(shù)的性質(zhì)：

1、單調(diào)性

閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必有界。其逆命題不成立。

2、連續(xù)性

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界。其逆命題不成立。

3、可積性

閉區(qū)間上的可積函數(shù)必有界。其逆命題不成立。

4、有界性

5、周期性

二、設(shè)函數(shù)f(x)是某一個(gè)實(shí)數(shù)集A上有定義，如果存在正數(shù)M 對(duì)于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的則稱(chēng)函數(shù)f(x)在A上有界，如果不存在這樣定義的正數(shù)M則稱(chēng)函數(shù)f(x)在A上無(wú)界。

設(shè)f為定義在D上的函數(shù)，若存在數(shù)M（L），使得對(duì)每一個(gè)x∈D有： ?(x)≤M（?(x)≥L）則稱(chēng)?在D上有上（下）界的函數(shù)，M（L）稱(chēng)為?在D上的一個(gè)上（下）界。