常見的收斂級數(shù)有哪些 級數(shù)收斂發(fā)散的判斷方法總結(jié)

有哪些常用的收斂性已知的級數(shù)，就是可以背下來的那種，高等數(shù)學 下列級數(shù)哪些是收斂的，請問級數(shù)收斂的判別有哪幾種，常見的收斂與發(fā)散級數(shù)，條件收斂級數(shù)有哪些，常見的收斂級數(shù)和發(fā)散級數(shù)，急?。?。

本文導航

• 級數(shù)收斂的必要條件怎么證明
• 無窮級數(shù)的收斂公式
• 怎么判斷級數(shù)收斂
• 級數(shù)收斂發(fā)散的判斷方法總結(jié)
• 級數(shù)條件收斂與絕對收斂的關(guān)系
• 判斷一個級數(shù)的收斂和發(fā)散步驟

級數(shù)收斂的必要條件怎么證明

一般，我們強調(diào)必須熟記的有兩個，等比級數(shù)與p級數(shù)，記住這兩個就足夠了。

無窮級數(shù)的收斂公式

第一個是交錯級數(shù)，通項的絕對值遞減且收斂于0，根據(jù)萊布尼茲判別法可以它是收斂的。

第二個是p級數(shù)，p=2>1，所以收斂。

第三個，與一的判斷過程相同。

第四個，p級數(shù)，p=1/2<1，發(fā)散。

怎么判斷級數(shù)收斂

1、對于所有級數(shù)都適用的根本方法是：柯西收斂準則。因為它的本質(zhì)是將級數(shù)轉(zhuǎn)化成數(shù)列，從而這是一個最強的判別法，柯西收斂準則成立是級數(shù)收斂的充分必要條件。

局限性：有一些數(shù)列的特征太過明顯，可以用更加簡潔的判別法去判別，用柯西收斂原理是浪費時間；另一方面，如果級數(shù)本身過于復雜，用柯西收斂準則也未必能很快得到證明。

2、對于正項級數(shù)，一個基本但不常用的方法是部分和有界，這同樣是級數(shù)收斂的充分必要條件，這是正項級數(shù)中最強的判別法之一，局限性也是顯然的：通常來說一個級數(shù)的和函數(shù)并不好求，用這種方法行不通，因此這個方法通常只有理論上的意義。

3、對于正項級數(shù)，比較判別法是一個相當有效的判別法，通過找一個新正項級數(shù)，比較通項，如果原級數(shù)的通項小，新級數(shù)收斂，則原級數(shù)收斂；如果新級數(shù)發(fā)散，原級數(shù)通項大，則原級數(shù)發(fā)散，通常在判別過程中使用其極限形式。

局限性：當級數(shù)過于復雜時，要找的那個新級數(shù)究竟是什么很難判斷，通常的方法是對原級數(shù)的通項做泰勒展開，以找到與之等價的p級數(shù)。

4、對于正項級數(shù)，有積分判別法：如果x>=1且f（x）〉=0且遞減，則無窮級數(shù)（通項為f（n））與1到正無窮對f（x）作的積分同斂散。這個辦法對于某些級數(shù)特別有效。局限性：由于其本質(zhì)是將級數(shù)化成了反常積分，如果化成的反常積分的收斂性難以判斷，則有可能該方法就把問題復雜化了。

5、對于正項級數(shù)，還有拉貝判別法與高斯判別法。拉貝判別法是將級數(shù)與通項為1/（n^alpha）的級數(shù)做比較，如果當n充分大時，n（a[n]/a[n+1]-1）〉=r>1，那么級數(shù)收斂。

高斯判別法將級數(shù)與通項為1/（n（lnn）^alpha）的級數(shù)做比較，如果a[n]/a[n+1]=1+1/n+beta/nlnn+o（1/nlnn），其中beta〉1，則級數(shù)收斂。

局限性：這兩個判別法已經(jīng)很強了，大部分級數(shù)都可以用這兩個判別法去估計，但是仍然不是全部級數(shù)都有效的，如果級數(shù)比通項為1/（n（lnn）^alpha）的級數(shù)收斂得還慢，就無效了，這時應(yīng)該去想比較判別法或者其他辦法，可能需要比較強的技巧。

6、對于交錯級數(shù)，有萊布尼茲判別法：如果級數(shù)符號交替且通項絕對值遞減，則級數(shù)收斂。局限性：如果級數(shù)不滿足上述條件，顯然就失效了。

7、一般項級數(shù)的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法：

阿貝爾判別法：如果級數(shù)的通項可以拆成兩部分的乘積，其中一部分隨下標單調(diào)有界，以另一部分為通項的級數(shù)收斂，那么原級數(shù)收斂。

狄利克雷判別法：如果級數(shù)的通項可以拆成兩部分的乘積，其中一部分隨下標單調(diào)趨于零，以另一部分為通項的級數(shù)的部分和有界，那么原級數(shù)收斂。

這兩個判別法對于一些通項為兩項以上乘積形式的級數(shù)非常有效。局限性：如果拆不出來，那就沒辦法了。不過通常的題最多就考到這里，基本上應(yīng)該可以判別。

級數(shù)收斂發(fā)散的判斷方法總結(jié)

交錯級數(shù)比如 1 -1 1 -1..發(fā)散

最好看看高數(shù)課本 上面的例題提到的要記住了!

級數(shù)條件收斂與絕對收斂的關(guān)系

判斷級數(shù)收斂的定理：設(shè)級數(shù)為∑a（n）*（-1）^n,如果

（1）a（n+1）≤a（n）；（2）lim（n→∞）a（n）=0；則交錯級數(shù)是收斂的.

所以依此定理此時有u（n）=（1/（2n+1））^2*（-1）^n,a（n）=（1/（2n+1））^2,

因為（1/（2n+3））^2≤（1/（2n+1））^2 且lim（n→∞）a（n）=lim（n→∞）[（1/（2n+1））^2]=0,所以此級數(shù)收斂,又有：

若級數(shù)∑u（n）收斂且級數(shù)∑|u（n）|也收斂的話,這樣的級數(shù)是絕對收斂的,顯然,本題中

lim（n→∞）|u（n）|=lim（n→∞）|a（n）|=lim（n→∞）|（1/（2n+1））^2

=lim（n→∞）（1/（2n+1））^2=0,則本題級數(shù)是絕對收斂的.

判斷一個級數(shù)的收斂和發(fā)散步驟

交錯級數(shù)比如 1 -1 1 -1..發(fā)散。

收斂的：∑a1*q^n，|q|<1，a1不等于0，∑(-1）^n*(1/n)，∑1/n^2。

發(fā)散的：∑a1*q^n，|q|>=1，a1不等于0，∑1/n，∑(-1）^n。

函數(shù)收斂

定義方式與數(shù)列收斂類似?？挛魇諗繙蕜t：關(guān)于函數(shù)f(x)在點x0處的收斂定義。對于任意實數(shù)b>0,存在c>0,對任意x1,x2滿足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收斂的定義方式很好的體現(xiàn)了數(shù)學分析的精神實質(zhì)。如果給定一個定義在區(qū)間i上的函數(shù)列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 則由這函數(shù)列構(gòu)成的表達式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴稱為定義在區(qū)間i上的（函數(shù)項）無窮級數(shù)，簡稱（函數(shù)項）級數(shù)。