矩陣相似對角化怎么求 線性代數(shù)，關(guān)于矩陣相似和對角化(謝謝)

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• 怎么樣求一個矩陣能否相似對角化
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• 線性代數(shù)，實對稱矩陣相似對角化問題

怎么樣求一個矩陣能否相似對角化

如下都是充要條件

存在可逆矩陣$P,$滿足$P^{-1}AP$為對角矩陣.

矩陣$A$的$Jordan$標(biāo)準(zhǔn)形的每個$Jordan$塊都是1階的.

矩陣$A$有$n$個線性無關(guān)的特征向量.

矩陣$A$的特征值的代數(shù)重數(shù)都等于幾何重數(shù).

矩陣$A$的最小多項式為無重根.并且根在數(shù)域內(nèi).

矩陣$A$的初等因子都是一次的.

線性代數(shù)，關(guān)于矩陣相似和對角化(謝謝)

先求出特征根.每個特征根對應(yīng)一個矩陣,求出這個矩陣對應(yīng)的方程組的基礎(chǔ)解系.所有基礎(chǔ)解系的個數(shù)加起來是n就可對角化,小于n就不可對角化.

線性代數(shù)，實對稱矩陣相似對角化問題

1、給定對稱陣A，求正交陣U，使得U^TAU＝U^(-1)AU＝D是對角陣。

一般而言U都不是惟一的，特別是A有重特征值時，答案更不是惟一的。

但這沒有關(guān)系，只要U的列向量是對應(yīng)的特征向量，那就沒有問題。

2、給定特征值和特征向量，求對稱陣A。這個問題一般而言也不是唯一的，

但特殊情況下是惟一的。像本題，屬于特征值－1的特征向量α3給定，屬于1

的特征向量沒給，但答案還是惟一的。這是可以證明的，只不過證明比較繁瑣，

一般是不要求證明的，只要求求出對稱陣A就可以了。

1是二重特征值，對應(yīng)兩個線性無關(guān)的特征向量，這兩個特征向量都與屬于－1的

特征向量正交，利用這個可以得到方程組

x2+x3＝0。注意到這個方程三個未知數(shù)，一個方程，因此有兩個線性無關(guān)的解，

這恰好是屬于1的兩個線性無關(guān)的特征向量。這個方程的基礎(chǔ)解系不惟一，隨便取

一組α1，α2，然后令U＝[α1

α2

α3]，則U^(-1)AU＝D＝diag(1

1

－1)。由此解出A

＝UDU^(－1)即可。值得注意的是這時U不是正交陣。計算可能比較麻煩。為了計算

方便，可以將α1，α2正交化，然后連通α3單位化，這些步驟你做得應(yīng)該比較熟了，

得到正交陣U，此時U^(－1)AU＝U^TAU＝D，因此A＝UDU^T。你可以驗證一下，

兩種方法得到的A是一樣的。