二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為什么不唯一 二次型的表示方法

二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為什么不是唯一的？一個二次型用配方法得出的標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的嗎？線性代數(shù)中，二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的結(jié)果是唯一的嗎？二次型經(jīng)正交變換得到標(biāo)準(zhǔn)型唯一么？線性代數(shù)：為什么二次型的標(biāo)準(zhǔn)形式不唯一的,而它的規(guī)范形唯一？二次型的標(biāo)準(zhǔn)型唯一嗎？

本文導(dǎo)航

• 二次型的表示方法
• 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型有哪些方法
• 線性代數(shù)如何判斷線性無關(guān)
• 正交變換可以不變成標(biāo)準(zhǔn)型嗎
• 線性代數(shù)怎么判斷線性獨立
• 標(biāo)準(zhǔn)二次型和規(guī)范二次型的區(qū)別

二次型的表示方法

因為可以用換元法，所以各項系數(shù)不唯一，當(dāng)然就不唯一了。

例如：2*x1^2---->(√2*x1)^2---(換元)->y1^2。

規(guī)范形才是唯一的，因為它只看正負(fù)號。

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型有哪些方法

一個二次型用配方法得出的標(biāo)準(zhǔn)型不是唯一的

不變的是正負(fù)慣性指數(shù)

"所有合同對稱矩陣具有相同的標(biāo)準(zhǔn)型，怎么理解？"

它們的標(biāo)準(zhǔn)形不一樣

由于它們的正負(fù)慣性指數(shù)一樣

所以規(guī)范型是一樣的.

線性代數(shù)如何判斷線性無關(guān)

不唯一。

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，有兩種方法。

1、配方，配方只是用了某種坐標(biāo)變換，得到標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)，不一定是特征值。

2、正交變換，得到的標(biāo)準(zhǔn)型系數(shù)一定是特征值。

可以隨意的調(diào)換這些系數(shù)的位置，只要使用的變換矩陣的向量對應(yīng)就可以了。

n個變量的二次多項式，即在一個多項式中，未知數(shù)的個數(shù)為任意多個，但每一項的次數(shù)都為2的多項式。線性代數(shù)的重要內(nèi)容之一，它起源于幾何學(xué)中二次曲線方程和二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)形問題的研究。二次型理論與域的特征有關(guān)。

擴展資料：

任何非零的n維二次形式定義在投影空間中一個 (n-2)維的投影空間。在這種方式下可把3維二次形式可視化為圓錐曲線。

二次空間是有序?qū)Γ╒,q），這里的V是在域k上的向量空間，而q:V→k是在V上的二次形式。

例如，在三維歐幾里得空間中兩個點之間的距離可以采用涉及六個變量的二次形式的平方根來找到，它們是這兩個點的各自的三個坐標(biāo)。

如果有V中的非零的v使得Q(v)=0。否則它稱為非迷向的。二次空間的一個向量或子空間也可以被稱為迷向的。如果Q(V)=0則Q被稱為完全奇異的。

參考資料來源：百度百科——二次型

正交變換可以不變成標(biāo)準(zhǔn)型嗎

不唯一的，沙發(fā)說的很對。正交變換的正交矩陣本身各列都可以調(diào)換順序，當(dāng)然相應(yīng)的特征值對應(yīng)調(diào)換順序，導(dǎo)致系數(shù)的位置不一致，因此不唯一。

線性代數(shù)怎么判斷線性獨立

標(biāo)準(zhǔn)形對平方項的系數(shù)沒有嚴(yán)格限制

如 4x^2 = (2x)^2

作一個變換其標(biāo)準(zhǔn)形就改變了.

但規(guī)范型要求平方項的系數(shù)是1或-1

而二次型的正負(fù)慣性指數(shù)是不變量

所以規(guī)范型是唯一的(不考慮變量的順序)

標(biāo)準(zhǔn)二次型和規(guī)范二次型的區(qū)別

二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不唯一。

一個二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不唯一，規(guī)范型唯一。 求標(biāo)準(zhǔn)型的方法就是按照實對稱矩陣對角化的步驟，把二次型的矩陣作為實對稱矩陣，求處Q，然后做正交變換x=Qy（xy為列向量），把向量組中的每個xi根據(jù)Q替換為yi，即可得到標(biāo)準(zhǔn)型。

若二次型只有平方項，則稱二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。

如果標(biāo)準(zhǔn)型中，系數(shù)只有1，-1和0，那么稱為二次型的規(guī)范型，因為標(biāo)準(zhǔn)型中，1，-1，0的個數(shù)是由正負(fù)慣性指數(shù)決定的，而合同的矩陣正負(fù)慣性指數(shù)相同，因此相互合同的矩陣乘以相同的向量組得到的二次型的規(guī)范型一定相同。

此外，求一個二次型的正負(fù)慣性指數(shù)，是通過求特征值得到，為正數(shù)的特征值的個數(shù)就是正慣性指數(shù)，即規(guī)范型中1的個數(shù)。