格林公式怎么挖掉奇點(diǎn) 利用格林公式計(jì)算

用高斯公式、格林公式 怎么補(bǔ)面？挖洞？關(guān)于格林公式的一些問題，格林公式要求是單連通區(qū)域，對飛單連通區(qū)域要求去掉奇點(diǎn)。但是去掉奇點(diǎn)的那個(gè)小區(qū)域也不是單連通區(qū)域，利用格林公式計(jì)算，曲線積分計(jì)算星形線面積x=acos^3t,y=asin^3t.請問，用格林公式要不要挖去奇點(diǎn)，使用格林公式時(shí),閉區(qū)域內(nèi)有奇點(diǎn)怎么處理?《高等數(shù)學(xué)》（同濟(jì)第六版）P205例4,為什么可以那么做？

本文導(dǎo)航

• 關(guān)于高斯公式挖奇點(diǎn)問題
• 關(guān)于格林公式的一些問題
• 格林公式要求是單連通區(qū)域，對飛單連通區(qū)域要求去掉奇點(diǎn)。但是去掉奇點(diǎn)的那個(gè)小區(qū)域也不是單連通區(qū)域
• 利用格林公式計(jì)算
• 曲線積分計(jì)算星形線面積x=acos^3t,y=asin^3t.請問，用格林公式要不要挖去奇點(diǎn)？
• 使用格林公式時(shí),閉區(qū)域內(nèi)有奇點(diǎn)怎么處理?《高等數(shù)學(xué)》（同濟(jì)第六版）P205例4,為什么可以那么做?

關(guān)于高斯公式挖奇點(diǎn)問題

補(bǔ)面容易吧！取附近特殊的面，補(bǔ)成一個(gè)封閉的曲面就行了

關(guān)于格林公式的一些問題

使用高斯公式的條件是積分函數(shù) P(x,y), Q(x,y) 在閉曲線圍成的

單連通域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。

本題在原點(diǎn)O（0,0），P(x,y), Q(x,y) 無定義，

更談不上在該點(diǎn)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，故不能用高斯公式。

為此，“挖掉”這個(gè)“奇點(diǎn)”，在如圖的環(huán)形域內(nèi)，便可用高斯公式了。

至于計(jì)算最后的∮<l>(ydx-xdy)/[2(x^2+y^2)] 不用高斯公式（不能用），

而是分母的 x^2+y^2=r^2 與x，y無關(guān)，直接可提到積分號外，即

...... = ∮<l>(ydx-xdy)/[2(x^2+y^2)]

= (1/2r^2)∫<0,2π>[rsintd(rcost)-rcostd(rsint)

= (1/2)∫<0,2π>[-(sint)^2-(cost)^2]dt

= (1/2)∫<0,2π>(-1)dt = -π.

格林公式要求是單連通區(qū)域，對飛單連通區(qū)域要求去掉奇點(diǎn)。但是去掉奇點(diǎn)的那個(gè)小區(qū)域也不是單連通區(qū)域

是啊，因?yàn)橐话闳〉男A，在積分中就可以把存在無定義點(diǎn)的函數(shù)塊用半徑表示，這樣就不存在無定義點(diǎn)，即區(qū)域變?yōu)閱芜B通域

利用格林公式計(jì)算

掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會(huì)求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)。

1.格林公式 ;設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)????,,,PxyQxy在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有

第三節(jié) ;格林公式及應(yīng)用 ;3.1 ;學(xué)習(xí)目標(biāo) ;掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會(huì)求二元函數(shù)全微分的原函數(shù). ;3.2 ;內(nèi)容提要 ;1.格林公式 ;設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)????,,,PxyQxy在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有

其中L是D的取正向的邊界曲線．

【注】（1）格林公式揭示了二重積分與曲線積分的聯(lián)系．

（2）D可以是復(fù)連通區(qū)域．

（3）L為正向的封閉曲線，P(x,y)、Q(x,y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，兩者缺一不可．在利用格林公式計(jì)算曲線積分時(shí)，若L不封閉，則考慮適當(dāng)補(bǔ)邊使之封閉；若在D內(nèi)函數(shù)有奇點(diǎn)，應(yīng)考慮將奇點(diǎn)挖掉．

（4）當(dāng)P=-y，Q=x時(shí)，可求出封閉曲線所圍區(qū)域的面積

2.平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件

設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通域，函數(shù)????P(x,y)、Q(x,y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分

在G內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充 要條件是

在G內(nèi)恒成立．

【注】若曲線積分與路徑無關(guān)，在進(jìn)行曲線積分的計(jì)算時(shí)，可以在G內(nèi)選擇簡單路徑，選擇折線是常用的方法。

3. ;典型例題與方法

基本題型I：利用格林公式求第二類曲線積分

例1 ;填空題

曲線積分計(jì)算星形線面積x=acos^3t,y=asin^3t.請問，用格林公式要不要挖去奇點(diǎn)？

這一題不需要挖去奇點(diǎn)。

解：本題運(yùn)用了格林公式求解。

由圖形的對稱性可以得知：

S＝4∫(0→a)ydx

＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]

＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt

＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt

＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]

＝(3πa^2)/8

擴(kuò)展資料：

利用格林公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分的方法：

第一步：明確被積表達(dá)式中的P(x,y)和Q(x,y)函數(shù)(dx前面的函數(shù)為P(x,y)，dy前面的函數(shù)為Q(x,y)，如果有負(fù)號，記得帶上負(fù)號)。

第二步：計(jì)算Q(x,y)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，P(x,y)關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)。如果兩者之差比較簡單且不等于0，則考慮使用格林公式計(jì)算曲線積分。

第三步：判定問題中給出的條件是否滿足格林公式的三個(gè)條件：封閉性、方向性和偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。如果封閉性和偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性不滿足，則可以考慮通過添加輔助線的方式將積分曲線封閉起來，或者將偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)隔離開來。

然后使用格林公式在閉區(qū)域上計(jì)算二重積分。如果添加了輔助線，則最終結(jié)果應(yīng)該用二重積分的結(jié)果減去輔助線上的曲線積分。

參考資料來源：百度百科- 格林公式

使用格林公式時(shí),閉區(qū)域內(nèi)有奇點(diǎn)怎么處理?《高等數(shù)學(xué)》（同濟(jì)第六版）P205例4,為什么可以那么做?

把奇點(diǎn)排除后,剩下的部分用格林公式,含奇點(diǎn)的只能用定義處理,再加起來就行了.

我沒書,看不到題,你可以把題發(fā)給我,我替你看看,

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