怎么判斷矩陣的正定性 如何辨別正定和半正定和負(fù)定。

判斷矩陣是正定矩陣的條件有哪些，判斷矩陣是正定矩陣的方法 有幾種，怎么判斷一個矩陣是否為正定矩陣？矩陣如何判斷是正定，負(fù)定？如何辨別正定和半正定和負(fù)定？

本文導(dǎo)航

• 判斷矩陣是正定矩陣的條件有哪些？
• 判斷矩陣是正定矩陣的方法 有幾種
• 怎么判斷一個矩陣是否為正定矩陣？
• 矩陣如何判斷是正定，負(fù)定？
• 如何辨別正定和半正定和負(fù)定。

判斷矩陣是正定矩陣的條件有哪些？

對稱矩陣A為正定的充分必要條件是:A的特征值全為正.

對稱矩陣A為正定的充分必要條件是:A的各階主子式為正,即對稱矩陣A為負(fù)定的充分必要條件是:奇數(shù)階主子式為負(fù),而偶數(shù)階主子式為正.(霍爾維茨定理)

判斷矩陣是正定矩陣的方法 有幾種

對稱陣A正定的等價條件

1、對應(yīng)的二次型正定

2、所有主子式大于0

3、所有順序主子式大于

4、所有特征根大于0

正定的一個必要條件 ：所有對角線上的元素全大于0（用于判定不正定時常用）

怎么判斷一個矩陣是否為正定矩陣？

判斷一個矩陣是否為正定矩陣有兩種方法：

1、求出A的所有特征值。若A的特征值均為正數(shù)，則A是正定的；若A的特征值均為負(fù)數(shù)，則A為負(fù)定的。

2、計算A的各階主子式。若A的各階主子式均大于零，則A是正定的；若A的各階主子式中，奇數(shù)階主子式為負(fù)，偶數(shù)階為正，則A為負(fù)定的。

擴展資料：

半正定矩陣的特點：

1、半正定矩陣的行列式是非負(fù)的；兩個半正定矩陣的和是半正定的；非負(fù)實數(shù)與半正定矩陣的數(shù)乘矩陣是半正定的。

2、設(shè)A是實對稱矩陣。如果對任意的實非零列向量x有xTAx≥0x有xTAx≥0，就稱A為半正定矩陣。

參考資料：正定矩陣_百度百科

矩陣如何判斷是正定，負(fù)定？

如果任一非零實向量X，都使二次型f（X）=X的轉(zhuǎn)置*A*X>0，則我們說f（X）為正定二次型，f（X）的矩陣A稱為正定矩陣。

追問：

轉(zhuǎn)置*A*X>0

是什么意思

回答：

你要判定矩陣是正定或者負(fù)定只需要看您的矩陣是否（所有的順序

主子

式全大于零）就行了

希望您能采納

采納哦

如何辨別正定和半正定和負(fù)定。

一．

定義

因為正定二次型與正定矩陣有密切的聯(lián)系，所以在定義正定矩陣之前，讓我們先定義正定二次型:

設(shè)有二次型

,如果對任何x

0都有f(x)>0(

0)

，則稱f(x)

為正定（半正定）二次型。

相應(yīng)的，正定（半正定）矩陣和負(fù)定（半負(fù)定）矩陣的定義為：

令a為

階對稱矩陣，若對任意n

維向量

x

0都有

＞0(≥0)則稱a正定（半正定）矩陣；反之，令a為n

階對稱矩陣，若對任意

n

維向量

x≠0

,都有

＜0（≤

0），

則稱a負(fù)定（半負(fù)定）矩陣。

例如，單位矩陣e

就是正定矩陣。

二．

正定矩陣的一些判別方法

由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法：

1.n階對稱矩陣a正定的充分必要條件是a的

n

個特征值全是正數(shù)。

證明：若

，

則有

∴λ＞0

反之，必存在u使

即

有

這就證明了a正定。

由上面的判別正定性的方法，不難得到a為半正定矩陣的充要條件是：a的特征值全部非負(fù)。

2．n階對稱矩陣a正定的充分必要條件是a合同于單位矩陣e。

證明：a正定

二次型

正定

a的正慣性指數(shù)為n

3．n階對稱矩陣a正定（半正定）的充分必要條件是存在

n階可逆矩陣u使

；進一步有

（b為正定（半正定）矩陣）。

證明：n階對稱矩陣a正定，則存在可逆矩陣u使

令

則

令

則

反之，

∴a正定。

同理可證a為半正定時的情況。

4．n階對稱矩陣a正定，則a的主對角線元素

，且

。

證明：（1）∵n階對稱矩陣a正定

∴

是正定二次型

現(xiàn)取一組不全為0

的數(shù)0,…,0,1,0…0(其中第i個數(shù)為1)代入，有

∴

∴a正定

∴存在可逆矩陣c

，使

5．n階對稱矩陣a正定的充分必要條件是：a的

n

個順序主子式全大于零。

證明：必要性：

設(shè)二次型

是正定的

對每個k,k=1,2,…,n,令

，

現(xiàn)證

是一個k元二次型。

∵對任意k個不全為零的實數(shù)

，有

∴

是正定的

∴

的矩陣

是正定矩陣

即

即a的順序主子式全大于零。

充分性：

對n作數(shù)學(xué)歸納法

當(dāng)n=1時，

∵

，

顯然

是正定的。

假設(shè)對n-1元實二次型結(jié)論成立，現(xiàn)在證明n元的情形。

令

，

，

∴a可分塊寫成

∵a的順序主子式全大于零

∴

的順序主子式也全大于零

由歸納假設(shè)，

是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣q使

令

∴

再令

，

有

令

，

就有

兩邊取行列式，則

由條件

得a＞0

顯然

即a合同于e

，

∴a是正定的。

三．

負(fù)定矩陣的一些判別方法

1．n階對稱矩陣a是負(fù)定矩陣的充分必要條件是a的負(fù)慣性指數(shù)為n。

2．n階對稱矩陣a是負(fù)定矩陣的充分必要條件是a的特征值全小于零。

3．n階對稱矩陣a是負(fù)定矩陣的充分必要條件是a的順序主子式

滿足

，

即奇數(shù)階順序主子式全小于零，偶數(shù)階順序主子式全大于零。

由于a是負(fù)定的當(dāng)且僅當(dāng)-a是正定的，所以上敘結(jié)論不難從正定性的有關(guān)結(jié)論直接得出，故證明略。

四．半正定矩陣的一些判別方法

1．

n階對稱矩陣a是半正定矩陣的充分必要條件是a的正慣性指數(shù)等于它的秩。

2．

n階對稱矩陣a是半正定矩陣的充分必要條件是a的特征值全大于等于零，但至少有一個特征值等于零。

3．

n階對稱矩陣a是負(fù)定矩陣的充分必要條件是a的各階主子式全大于等于零，但至少有一個主子式等于零。

注：3中指的是主子式而不是順序主子式，實際上，只有順序主子式大于等于零并不能保證a是半正定的，例如：

矩陣

的順序主子式

，

，

，

但a并不是半正定的。

關(guān)于半負(fù)定也有類似的定理，這里不再寫出。