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考研數(shù)學(xué)二基本公式

數(shù)學(xué)高考基礎(chǔ)知識(shí)、常見結(jié)論詳解

一、集合與簡(jiǎn)易邏輯：

一、理解集合中的有關(guān)概念

（1）集合中元素的特征： 確定性 ， 互異性 ， 無(wú)序性 。

集合元素的互異性：如： ， ，求 ；

（2）集合與元素的關(guān)系用符號(hào) ， 表示。

（3）常用數(shù)集的符號(hào)表示：自然數(shù)集 ；正整數(shù)集 、 ；整數(shù)集 ；有理數(shù)集 、實(shí)數(shù)集 。

（4）集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。

注意：區(qū)分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ；

；

（5）空集是指不含任何元素的集合。（ 、 和 的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系）

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：條件為 ，在討論的時(shí)候不要遺忘了 的情況。

如： ，如果 ，求 的取值。

二、集合間的關(guān)系及其運(yùn)算

（1）符號(hào)“ ”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn) 點(diǎn)與直線（面）的關(guān)系 ；

符號(hào)“ ”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn) 面與直線(面)的關(guān)系 。

（2） ； ；

（3）對(duì)于任意集合 ，則：

① ； ； ；

② ； ；

； ；

③ ； ；

（4）①若 為偶數(shù)，則 ；若 為奇數(shù)，則 ；

②若 被3除余0，則 ；若 被3除余1，則 ；若 被3除余2，則 ；

三、集合中元素的個(gè)數(shù)的計(jì)算：

（1）若集合 中有 個(gè)元素，則集合 的所有不同的子集個(gè)數(shù)為_________，所有真子集的個(gè)數(shù)是__________，所有非空真子集的個(gè)數(shù)是 。

（2） 中元素的個(gè)數(shù)的計(jì)算公式為： ；

（3）韋恩圖的運(yùn)用：

四、 滿足條件 ， 滿足條件 ，

若 ；則 是 的充分非必要條件 ；

若 ；則 是 的必要非充分條件 ；

若 ；則 是 的充要條件 ；

若 ；則 是 的既非充分又非必要條件 ；

五、原命題與逆否命題，否命題與逆命題具有相同的 ；

注意：“若 ，則 ”在解題中的運(yùn)用，

如：“ ”是“ ”的 條件。

六、反證法：當(dāng)證明“若 ，則 ”感到困難時(shí)，改證它的等價(jià)命題“若 則 ”成立，

步驟：1、假設(shè)結(jié)論反面成立；2、從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，推理論證，得出矛盾；3、由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論正確。

矛盾的來(lái)源：1、與原命題的條件矛盾；2、導(dǎo)出與假設(shè)相矛盾的命題；3、導(dǎo)出一個(gè)恒假命題。

適用與待證命題的結(jié)論涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼時(shí)。

正面詞語(yǔ) 等于 大于 小于 是 都是 至多有一個(gè)

否定

正面詞語(yǔ) 至少有一個(gè) 任意的 所有的 至多有n個(gè) 任意兩個(gè)

否定

二、函數(shù)

一、映射與函數(shù)：

（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函數(shù)的概念：

如：若 ， ；問： 到 的映射有 個(gè)， 到 的映射有 個(gè)； 到 的函數(shù)有 個(gè)，若 ，則 到 的一一映射有 個(gè)。

函數(shù) 的圖象與直線 交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 個(gè)。

二、函數(shù)的三要素： ， ， 。

相同函數(shù)的判斷方法：① ；② (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

（1）函數(shù)解析式的求法：

①定義法（拼湊）：②換元法：③待定系數(shù)法：④賦值法：

（2）函數(shù)定義域的求法：

① ，則 ； ② 則 ；

③ ，則 ； ④如： ，則 ；

⑤含參問題的定義域要分類討論；

如：已知函數(shù) 的定義域是 ，求 的定義域。

⑥對(duì)于實(shí)際問題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時(shí)的定義域要根據(jù)實(shí)際意義來(lái)確定。如：已知扇形的周長(zhǎng)為20，半徑為 ，扇形面積為 ，則 ；定義域?yàn)?。

（3）函數(shù)值域的求法：

①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來(lái)求值；常轉(zhuǎn)化為型如： 的形式；

②逆求法（反求法）：通過反解，用 來(lái)表示 ，再由 的取值范圍，通過解不等式，得出 的取值范圍；常用來(lái)解，型如： ；

④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；

⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域；

⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如： ，利用平均值不等式公式來(lái)求值域；

⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。

⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來(lái)求值域。

求下列函數(shù)的值域：① （2種方法）；

② （2種方法）；③ （2種方法）；

三、函數(shù)的性質(zhì)：

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

單調(diào)性：定義：注意定義是相對(duì)與某個(gè)具體的區(qū)間而言。

判定方法有：定義法（作差比較和作商比較）

導(dǎo)數(shù)法（適用于多項(xiàng)式函數(shù)）

復(fù)合函數(shù)法和圖像法。

應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。

奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，比較f(x) 與f(-x)的關(guān)系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數(shù)；

f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)為奇函數(shù)。

判別方法：定義法， 圖像法 ，復(fù)合函數(shù)法

應(yīng)用：把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。

周期性：定義：若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。

其他：若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函數(shù)f(x)的周期.

應(yīng)用：求函數(shù)值和某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)解析式。

四、圖形變換：函數(shù)圖像變換：（重點(diǎn)）要求掌握常見基本函數(shù)的圖像，掌握函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律。

常見圖像變化規(guī)律：（注意平移變化能夠用向量的語(yǔ)言解釋，和按向量平移聯(lián)系起來(lái)思考）

平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：（?。┯邢禂?shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)y＝f(2x)經(jīng)過 平移得到函數(shù)y＝f(2x＋4)的圖象。

（ⅱ）會(huì)結(jié)合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意義。

對(duì)稱變換 y=f(x)→y=f(－x),關(guān)于y軸對(duì)稱

y=f(x)→y=－f(x) ,關(guān)于x軸對(duì)稱

y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對(duì)稱。（注意：它是一個(gè)偶函數(shù)）

伸縮變換：y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。

一個(gè)重要結(jié)論：若f(a－x)＝f(a+x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

如： 的圖象如圖，作出下列函數(shù)圖象：

（1） ；（2） ；

（3） ；（4） ；

（5） ；（6） ；

（7） ；（8） ；

（9） 。

五、反函數(shù)：

（1）定義：

（2）函數(shù)存在反函數(shù)的條件： ；

（3）互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系： ；

（4）求反函數(shù)的步驟：①將 看成關(guān)于 的方程，解出 ，若有兩解，要注意解的選擇；②將 互換，得 ；③寫出反函數(shù)的定義域（即 的值域）。

（5）互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系： ；

（6）原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性；

（7）原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù)；原函數(shù)為偶函數(shù)，它一定不存在反函數(shù)。

如：求下列函數(shù)的反函數(shù)： ； ；

七、常用的初等函數(shù)：

（1）一元一次函數(shù)： ，當(dāng) 時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，是減函數(shù)；

（2）一元二次函數(shù)：

一般式： ；對(duì)稱軸方程是 ；頂點(diǎn)為 ；

兩點(diǎn)式： ；對(duì)稱軸方程是 ；與 軸的交點(diǎn)為 ；

頂點(diǎn)式： ；對(duì)稱軸方程是 ；頂點(diǎn)為 ；

①一元二次函數(shù)的單調(diào)性：

當(dāng) 時(shí)： 為增函數(shù)； 為減函數(shù)；當(dāng) 時(shí)： 為增函數(shù)； 為減函數(shù)；

②二次函數(shù)求最值問題：首先要采用配方法，化為 的形式，

Ⅰ、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間上，則

時(shí)：在頂點(diǎn)處取得最小值，最大值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；

時(shí)：在頂點(diǎn)處取得最大值，最小值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；

Ⅱ、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上，則

時(shí)：最小值在距離對(duì)稱軸較近的端點(diǎn)處取得，最大值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；

時(shí)：最大值在距離對(duì)稱軸較近的端點(diǎn)處取得，最小值在距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；

有三個(gè)類型題型：

(1)頂點(diǎn)固定，區(qū)間也固定。如：

(2)頂點(diǎn)含參數(shù)(即頂點(diǎn)變動(dòng))，區(qū)間固定，這時(shí)要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時(shí)在區(qū)間之內(nèi)，何時(shí)在區(qū)間之外。

(3)頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng)，這時(shí)要討論區(qū)間中的參數(shù)．

③二次方程實(shí)數(shù)根的分布問題： 設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程 的兩根為 ；則：

根的情況

等價(jià)命題 在區(qū)間 上有兩根 在區(qū)間 上有兩根 在區(qū)間 或 上有一根

充要條件

注意：若在閉區(qū)間 討論方程 有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間 上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果，在令 和 檢查端點(diǎn)的情況。

（3）反比例函數(shù)：

（4）指數(shù)函數(shù)：

指數(shù)運(yùn)算法則： ； ； 。

指數(shù)函數(shù)：y= (a>o,a≠1)，圖象恒過點(diǎn)（0，1），單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對(duì)a分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖。

（5）對(duì)數(shù)函數(shù)：

指數(shù)運(yùn)算法則： ； ； ；

對(duì)數(shù)函數(shù)：y= (a>o,a≠1) 圖象恒過點(diǎn)（1，0），單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對(duì)a分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖。

注意：（1） 與 的圖象關(guān)系是 ；

（2）比較兩個(gè)指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時(shí)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比較或與0比較。

（3）已知函數(shù) 的定義域?yàn)?，求 的取值范圍。

已知函數(shù) 的值域?yàn)?，求 的取值范圍。

六、 的圖象：

定義域： ；值域： ； 奇偶性： ； 單調(diào)性： 是增函數(shù)； 是減函數(shù)。

七、補(bǔ)充內(nèi)容：

抽象函數(shù)的性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的一些具體特殊函數(shù)模型：

① 正比例函數(shù)

② ； ；

③ ； ；

④ ；

三、導(dǎo) 數(shù)

1．求導(dǎo)法則：

(c)/=0 這里c是常數(shù)。即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)值為0。

(xn)/=nxn－1 特別地：(x)/=1 (x－1)/= ( )/=－x-2 (f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k?f(x))/= k?f/(x)

2．導(dǎo)數(shù)的幾何物理意義：

k＝f/(x0)表示過曲線y=f(x)上的點(diǎn)P(x0,f(x0))的切線的斜率。

V＝s/(t) 表示即時(shí)速度。a=v/(t) 表示加速度。

3．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：

①求切線的斜率。

②導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系

一 與 為增函數(shù)的關(guān)系。

能推出 為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，但 ，∴ 是 為增函數(shù)的充分不必要條件。

二 時(shí)， 與 為增函數(shù)的關(guān)系。

若將 的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定 ，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí) 為增函數(shù)，就一定有 ?！喈?dāng) 時(shí)， 是 為增函數(shù)的充分必要條件。

三 與 為增函數(shù)的關(guān)系。

為增函數(shù)，一定可以推出 ，但反之不一定，因?yàn)?，即為 或 。當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 ，則 為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性?！?是 為增函數(shù)的必要不充分條件。

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡(jiǎn)化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。

四單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知 （1）分析 的定義域;（2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式 ，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式 ，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間。

我們?cè)趹?yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個(gè)關(guān)系，才能準(zhǔn)確無(wú)誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡(jiǎn)單的分析，前提條件都是函數(shù) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。

③求極值、求最值。

注意：極值≠最值。函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個(gè)。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個(gè)。

f/(x0)＝0不能得到當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)有極值。

但是，當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)有極值 f/(x0)＝0

判斷極值，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明。

4.導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：

（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）；

（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；

（3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡(jiǎn)便）等關(guān)于 次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。

2．關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項(xiàng)討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡(jiǎn)便。

3．導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應(yīng)引起注意。

四、不等式

一、不等式的基本性質(zhì)：

注意：(1)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題。

(2)注意課本上的幾個(gè)性質(zhì)，另外需要特別注意：

①若ab>0，則 。即不等式兩邊同號(hào)時(shí)，不等式兩邊取倒數(shù)，不等號(hào)方向要改變。

②如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式，要注意它的正負(fù)號(hào)，如果正負(fù)號(hào)未定，要注意分類討論。

③圖象法：利用有關(guān)函數(shù)的圖象（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)的圖象），直接比較大小。

④中介值法：先把要比較的代數(shù)式與“0”比，與“1”比，然后再比較它們的大小

二、均值不等式：兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

若 ，則 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)）

基本變形：① ； ；

②若 ，則 ，

基本應(yīng)用：①放縮，變形；

②求函數(shù)最值：注意：①一正二定三取等；②積定和小，和定積大。

當(dāng) （常數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， ；

當(dāng) （常數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， ；

常用的方法為：拆、湊、平方；

如：①函數(shù) 的最小值 。

②若正數(shù) 滿足 ，則 的最小值 。

三、絕對(duì)值不等式：

注意：上述等號(hào)“＝”成立的條件；

四、常用的基本不等式：

（1）設(shè) ，則 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)）

（2） （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)）； （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)）

（3） ； ；

五、證明不等式常用方法：

（1）比較法：作差比較：

作差比較的步驟：

⑴作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差。

⑵變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)（或式）的完全平方和。

⑶判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)。

注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來(lái)比較大小。

（2）綜合法：由因?qū)Ч?

（3）分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證……只需證……，只需證……

（4）反證法：正難則反。

（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。

放縮法的方法有：

⑴添加或舍去一些項(xiàng)，如： ；

⑵將分子或分母放大（或縮?。?

⑶利用基本不等式，如： ；

⑷利用常用結(jié)論：

Ⅰ、 ；

Ⅱ、 ； （程度大）

Ⅲ、 ； （程度?。?

（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：

已知 ，可設(shè) ；

已知 ，可設(shè) ( )；

已知 ，可設(shè) ；

已知 ，可設(shè) ；

（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明不等式；

六、不等式的解法：

（1）一元一次不等式：

Ⅰ、 ：⑴若 ，則 ；⑵若 ，則 ；

Ⅱ、 ：⑴若 ，則 ；⑵若 ，則 ；

（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次項(xiàng)系數(shù)小于零的，同解變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零；注：要對(duì) 進(jìn)行討論：

（5）絕對(duì)值不等式：若 ，則 ； ；

注意：(1).幾何意義： ： ； ： ；

(2)解有關(guān)絕對(duì)值的問題，考慮去絕對(duì)值，去絕對(duì)值的方法有：

⑴對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的部分按大于、等于、小于零進(jìn)行討論去絕對(duì)值；①若 則 ；②若 則 ；③若 則 ；

(3).通過兩邊平方去絕對(duì)值；需要注意的是不等號(hào)兩邊為非負(fù)值。

(4).含有多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式可用“按零點(diǎn)分區(qū)間討論”的方法來(lái)解。

（6）分式不等式的解法：通解變形為整式不等式；

⑴ ；⑵ ；

⑶ ；⑷ ；

（7）不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個(gè)不等式的解集，然后求其交集，即是這個(gè)不等式組的解集，在求交集中，通常把每個(gè)不等式的解集畫在同一條數(shù)軸上，取它們的公共部分。

（8）解含有參數(shù)的不等式：

解含參數(shù)的不等式時(shí)，首先應(yīng)注意考察是否需要進(jìn)行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論：

①不等式兩端乘除一個(gè)含參數(shù)的式子時(shí)，則需討論這個(gè)式子的正、負(fù)、零性.

②在求解過程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，則需對(duì)它們的底數(shù)進(jìn)行討論.

③在解含有字母的一元二次不等式時(shí)，需要考慮相應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向，對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的狀況（有時(shí)要分析△），比較兩個(gè)根的大小,設(shè)根為 （或更多）但含參數(shù)，要分 、 、 討論。

五、數(shù)列

本章是高考命題的主體內(nèi)容之一，應(yīng)切實(shí)進(jìn)行全面、深入地復(fù)習(xí)，并在此基礎(chǔ)上，突出解決下述幾個(gè)問題：（1）等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個(gè)數(shù)列的前 項(xiàng)和 ，則其通項(xiàng)為 若 滿足 則通項(xiàng)公式可寫成 .（2）數(shù)列計(jì)算是本章的中心內(nèi)容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 項(xiàng)和公式及其性質(zhì)熟練地進(jìn)行計(jì)算，是高考命題重點(diǎn)考查的內(nèi)容.（3）解答有關(guān)數(shù)列問題時(shí)，經(jīng)常要運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想.善于使用各種數(shù)學(xué)思想解答數(shù)列題，是我們復(fù)習(xí)應(yīng)達(dá)到的目標(biāo). ①函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式都可以看作是 的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問題可以化為函數(shù)問題求解.

②分類討論思想：用等比數(shù)列求和公式應(yīng)分為 及 ；已知 求 時(shí)，也要進(jìn)行分類；

③整體思想：在解數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢(shì)，運(yùn)用整

體思想求解.

（4）在解答有關(guān)的數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，要認(rèn)真地進(jìn)行分析，將實(shí)際問題抽象化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用有關(guān)數(shù)列知識(shí)和方法來(lái)解決.解答此類應(yīng)用題是數(shù)學(xué)能力的綜合運(yùn)用，決不是簡(jiǎn)單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關(guān)的等比數(shù)列的第幾項(xiàng)不要弄錯(cuò).

一、基本概念：

1、 數(shù)列的定義及表示方法：

2、 數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)：

3、 有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列：

4、 遞增（減）、擺動(dòng)、循環(huán)數(shù)列：

5、 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an：

6、 數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn:

7、 等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)：

8、 等比數(shù)列、公比q、等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)：

二、基本公式：

9、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an=

10、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)) 當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時(shí)，an是一個(gè)常數(shù)。

11、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn= Sn= Sn=

當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0；當(dāng)d=0時(shí)（a1≠0），Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。

12、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)，an≠0)

13、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)；

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn= Sn=

三、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

14、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數(shù)列。

15、等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則

16、等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則

17、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數(shù)列。

18、兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。

19、兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列

{an bn}、 、 仍為等比數(shù)列。

20、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

21、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

22、三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

23、三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq；

四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么？)

24、{an}為等差數(shù)列，則 (c>0)是等比數(shù)列。

25、{bn}（bn>0）是等比數(shù)列，則{logcbn} (c>0且c 1) 是等差數(shù)列。

26. 在等差數(shù)列 中：

（1）若項(xiàng)數(shù)為 ，則

（2）若數(shù)為 則， ，

27. 在等比數(shù)列 中：

（1） 若項(xiàng)數(shù)為 ，則

（2）若數(shù)為 則，

四、數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。關(guān)鍵是找數(shù)列的通項(xiàng)結(jié)構(gòu)。

28、分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n

29、錯(cuò)位相減法求和：如an=(2n-1)2n

30、裂項(xiàng)法求和：如an=1/n(n+1)

31、倒序相加法求和：如an=

32、求數(shù)列{an}的最大、最小項(xiàng)的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 如an=

33、在等差數(shù)列 中,有關(guān)Sn 的最值問題——常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：

(1)當(dāng) >0,d<0時(shí)，滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得 取最大值.

(2)當(dāng) <0,d>0時(shí)，滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得 取最小值。

在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

六、平面向量

1．基本概念：

向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。

2． 加法與減法的代數(shù)運(yùn)算：

(1) ．

(2)若a=（ ）,b=（ ）則a b=（ ）．

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

以向量 = 、 = 為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對(duì)角線的向量 = + , = － , = －

且有｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜+｜ ｜．

向量加法有如下規(guī)律： ＋ = ＋ (交換律); +( +c)=( + )+c （結(jié)合律）;

+0= ＋(－ )=0.

3．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù) 與向量 的積是一個(gè)向量。

(1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜;

(2) 當(dāng) ＞0時(shí)， 與 的方向相同；當(dāng) ＜0時(shí)， 與 的方向相反；當(dāng) =0時(shí)， =0．

(3)若 =（ ），則 · =（ ）．

兩個(gè)向量共線的充要條件：

(1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得b= ．

(2) 若 =（ ）,b=（ ）則 ‖b ．

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) ， ，使得 = e1+ e2．

4．P分有向線段 所成的比：

設(shè)P1、P2是直線 上兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是 上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使 = ， 叫做點(diǎn)P分有向線段 所成的比。

當(dāng)點(diǎn)P在線段 上時(shí)， ＞0；當(dāng)點(diǎn)P在線段 或 的延長(zhǎng)線上時(shí)， ＜0；

分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若 = ； 的坐標(biāo)分別為（ ）,（ ）,（ ）；則 （ ≠－1）， 中點(diǎn)坐標(biāo)公式： ．

5． 向量的數(shù)量積：

（1）．向量的夾角：

已知兩個(gè)非零向量 與b，作 = , =b,則∠AOB= （ ）叫做向量 與b的夾角。

（2）．兩個(gè)向量的數(shù)量積：

已知兩個(gè)非零向量 與b，它們的夾角為 ，則 ·b=｜ ｜·｜b｜c(diǎn)os ．

其中｜b｜c(diǎn)os 稱為向量b在 方向上的投影．

（3）．向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

若 =（ ）,b=（ ）則e· = ·e=｜ ｜c(diǎn)os (e為單位向量);

⊥b ·b=0 （ ，b為非零向量）;｜ ｜= ;

cos = = ．

(4) ．向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c．

6.主要思想與方法：

本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來(lái)進(jìn)行綜合考查，是知識(shí)的交匯點(diǎn)。

七、立體幾何

1.平面的基本性質(zhì)：掌握三個(gè)公理及推論，會(huì)說(shuō)明共點(diǎn)、共線、共面問題。

能夠用斜二測(cè)法作圖。

2.空間兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面的概念；

會(huì)求異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法。

3.直線與平面

①位置關(guān)系：平行、直線在平面內(nèi)、直線與平面相交。

②直線與平面平行的判斷方法及性質(zhì),判定定理是證明平行問題的依據(jù)。

③直線與平面垂直的證明方法有哪些？

④直線與平面所成的角：關(guān)鍵是找它在平面內(nèi)的射影，范圍是{00.900}

⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個(gè)定理. 三垂線定理及其逆定理主要用于證明垂直關(guān)系與空間圖形的度量.如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點(diǎn)到直線的垂線.

4.平面與平面

(1)位置關(guān)系：平行、相交，（垂直是相交的一種特殊情況）

(2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質(zhì)。

(3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質(zhì)定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據(jù)性質(zhì)定理，可以證明線面垂直。

(4)兩平面間的距離問題→點(diǎn)到面的距離問題→

(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：

①定義法，一般要利用圖形的對(duì)稱性；一般在計(jì)算時(shí)要解斜三角形；

②垂線、斜線、射影法，一般要求平面的垂線好找，一般在計(jì)算時(shí)要解一個(gè)直角三角形。

③射影面積法，一般是二面交的兩個(gè)面只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)面的交線不容易找到時(shí)用此法? 多但是有用自己慢記！

平均值怎么算

計(jì)算平均值，一般常用的有兩種方法：一種是簡(jiǎn)單平均法，一種是加權(quán)平均法。例如，某企業(yè)生產(chǎn)A產(chǎn)品10臺(tái)，單價(jià)100元；生產(chǎn)B產(chǎn)品5臺(tái)，單價(jià)50元；生產(chǎn)C產(chǎn)品3臺(tái)，單價(jià)30元，計(jì)算平均價(jià)格？簡(jiǎn)單平均法：平均價(jià)格=∑各類產(chǎn)品單價(jià) / 產(chǎn)品種類

平均價(jià)格=（100+50+30）/ 3 = 60（元）加權(quán)平均法：平均價(jià)格=∑（產(chǎn)品單價(jià)×產(chǎn)品數(shù)量）/ ∑（產(chǎn)品數(shù)量）

平均價(jià)格=（100×10+50×5+30×3）/（10+5+3）= 74.44（元）可以看出，簡(jiǎn)單平均與加權(quán)平均計(jì)算出來(lái)的平均值差距較大，而后者更貼近事實(shí)，屬于精確計(jì)算。

擴(kuò)展資料：

平均值有算術(shù)平均值，幾何平均值，平方平均值（均方根平均值，rms），調(diào)和平均值，加權(quán)平均值等。其中以算術(shù)平均值最為常見。

算術(shù)平均數(shù)，又稱均值，是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最基本、最常用的一種平均指標(biāo)，分為簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不適用于品質(zhì)數(shù)據(jù)。根據(jù)表現(xiàn)形式的不同，算術(shù)平均數(shù)有不同的計(jì)算形式和計(jì)算公式。

算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊形式（特殊在各項(xiàng)的權(quán)重相等）。在實(shí)際問題中，當(dāng)各項(xiàng)權(quán)重不相等時(shí)，計(jì)算平均數(shù)時(shí)就要采用加權(quán)平均數(shù)；當(dāng)各項(xiàng)權(quán)相等時(shí)，計(jì)算平均數(shù)就要采用算術(shù)平均數(shù)。

1. 加權(quán)算術(shù)平均數(shù)同時(shí)受到兩個(gè)因素的影響，一個(gè)是各組數(shù)值的大小，另一個(gè)是各組分布頻數(shù)的多少。在數(shù)值不變的情況下，一組的頻數(shù)越多，該組的數(shù)值對(duì)平均數(shù)的作用就大，反之，越小。

頻數(shù)在加權(quán)算術(shù)平均數(shù)中起著權(quán)衡輕重的作用，這也是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)“加權(quán)”的含義。

2. 算術(shù)平均數(shù)易受極端值的影響。例如有下列資料：5、7、5、4、6、7、8、5、4、7、8、6、20，全部資料的平均值是7.1，實(shí)際上大部分?jǐn)?shù)據(jù)（有10個(gè)）不超過7，如果去掉20，則剩下的12個(gè)數(shù)的平均數(shù)為6。

由此可見，極端值的出現(xiàn)，會(huì)使平均數(shù)的真實(shí)性受到干擾。

幾何平均數(shù)是對(duì)各變量值的連乘積開項(xiàng)數(shù)次方根。求幾何平均數(shù)的方法叫做幾何平均法。如果總水平、總成果等于所有階段、所有環(huán)節(jié)水平、成果的連乘積總和時(shí)，求各階段、各環(huán)節(jié)的一般水平、一般成果，要使用幾何平均法計(jì)算幾何平均數(shù)，而不能使用算術(shù)平均法計(jì)算算術(shù)平均數(shù)。

根據(jù)所拿握資料的形式不同，其分為簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)兩種形式。

平均值怎么算簡(jiǎn)單算法

(a1+a2+……an)/n為a1,a2,……,an的算術(shù)平均值.

簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù).有這么一組數(shù)字10、20、30、40、50　那么它們的算術(shù)平均值是（10+20+30+40+50）/5=30

平均值有算術(shù)平均值，幾何平均值，平方平均值（均方根平均值，rms），調(diào)和平均值，加權(quán)平均值等，其中以算術(shù)平均值最為常見。

算術(shù)平均數(shù)（ arithmetic mean），又稱均值，是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最基本、最常用的一種平均指標(biāo)，分為簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不適用于品質(zhì)數(shù)據(jù)。根據(jù)表現(xiàn)形式的不同，算術(shù)平均數(shù)有不同的計(jì)算形式和計(jì)算公式。 算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊形式（特殊在各項(xiàng)的權(quán)重相等）。在實(shí)際問題中，當(dāng)各項(xiàng)權(quán)重不相等時(shí)，計(jì)算平均數(shù)時(shí)就要采用加權(quán)平均數(shù)；當(dāng)各項(xiàng)權(quán)相等時(shí)，計(jì)算平均數(shù)就要采用算術(shù)平均數(shù)。