矩陣的初等因子怎么求 求矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J及可逆矩陣P。想問(wèn)問(wèn)初等因子是怎么得出的，書(shū)上說(shuō)不難得出，😭，在線等。

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本文導(dǎo)航

• 矩陣初等因子與不變因子求法
• 求矩陣的初等因子，跪求詳細(xì)過(guò)程
• 求矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J及可逆矩陣P。想問(wèn)問(wèn)初等因子是怎么得出的，書(shū)上說(shuō)不難得出，??，在線等。
• λ矩陣的初等因子除了從不變因子推出，還有別的方法嗎？下圖的題可以幫忙詳細(xì)的求出初等因子嗎？
• 矩陣初等因子與不變因子求法有沒(méi)有直觀一點(diǎn)的步驟說(shuō)

矩陣初等因子與不變因子求法

對(duì)于一個(gè)給定的矩陣多項(xiàng)式P(x)

先化到Smith對(duì)角型diag{d_1(x),d_2(x),...,d_r(x),0,...,0}，其中每個(gè)d_i都整除d_{i+1}

那么d_1(x),...,d_r(x)就是不變因子

對(duì)這些不變因子（在某個(gè)給定的域上）做因式分解得到的形如p(x)^k的因子就是初等因子

比如

d_r=p_1(x)^{e_r1}...p_m(x)^{e_rm}

...

d_1=p_1(x)^{e_11}...p_m(x)^{e_1m}

其中p_i(x)是兩兩不同的不可約多項(xiàng)式，每個(gè)e_ij都非負(fù)

這樣所有e_ij>0對(duì)應(yīng)的因子p_i(x)^{e_ij}就是初等因子

教材要認(rèn)真看，慢慢看，一般來(lái)講都有例子的，把具體的例子和“抽象的”定義對(duì)比著看

實(shí)在看不懂換一本教材，多找?guī)讉€(gè)例子，再看不懂就該怪自己了

求矩陣的初等因子，跪求詳細(xì)過(guò)程

【知識(shí)點(diǎn)】

若矩陣A的特征值為λ1，λ2，，λn，那么|A|=λ1·λ2··λn

【解答】

|A|=1×2××n= n！

設(shè)A的特征值為λ，對(duì)于的特征向量為α。

則 Aα = λα

那么 (A2-A)α = A2α - Aα = λ2α - λα = (λ2-λ)α

所以A2-A的特征值為 λ2-λ，對(duì)應(yīng)的特征向量為α

A2-A的特征值為 0 ，2，6，，n2-n

求矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J及可逆矩陣P。想問(wèn)問(wèn)初等因子是怎么得出的，書(shū)上說(shuō)不難得出，??，在線等。

先把特征多項(xiàng)式化成標(biāo)準(zhǔn)型，標(biāo)準(zhǔn)型主對(duì)角線上的非零元素就是不變因子。

下面利用不變因子求初等因子

寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)分解式

列出各分解式中各個(gè)1次因子（最高次）冪，得到初等因子

λ矩陣的初等因子除了從不變因子推出，還有別的方法嗎？下圖的題可以幫忙詳細(xì)的求出初等因子嗎？

就利用不變因子求初等因子吧：

寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)分解式

列出各分解式中各個(gè)1次因子（最高次）冪，得到初等因子

矩陣初等因子與不變因子求法有沒(méi)有直觀一點(diǎn)的步驟說(shuō)

1、對(duì)于一個(gè)給定的矩陣多項(xiàng)式P(x)先化到Smith對(duì)角型diag{d_1(x),d_2(x),...,d_r(x),0,...,0}，其中每個(gè)d_i都整除d_{i+1}。

2、那么d_1(x),...,d_r(x)就是不變因子。

3、對(duì)這些不變因子（在某個(gè)給定的域上）做因式分解得到的形如p(x)^k的因子就是初等因子。

比如：d_r=p_1(x)^{e_r1}...p_m(x)^{e_rm}；

...

d_1=p_1(x)^{e_11}...p_m(x)^{e_1m}。

其中p_i(x)是兩兩不同的不可約多項(xiàng)式，每個(gè)e_ij都非負(fù)這樣所有e_ij>0對(duì)應(yīng)的因子p_i(x)^{e_ij}就是初等因子。

擴(kuò)展資料：

不變因子和初等因子的關(guān)系：

首先，假設(shè)n級(jí)矩陣A的不變因子;：

將上式分解成互不相同的一次因式方冪的乘積：

則其中對(duì)應(yīng)于

的那些方冪

就是A的全部初等因子。我們注意不變因子有一個(gè)除盡一個(gè)的性質(zhì)，即

從而屬于同一個(gè)一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的性質(zhì)，即

如此順推下去，可知屬于同一個(gè)一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是惟一確定的。上面的分析給了我們一個(gè)如何從初等因子和矩陣的級(jí)數(shù)惟一地作出不變因子的方法。設(shè)一個(gè)n級(jí)矩陣的全部初等因子為已知，而且當(dāng)這些初等因子的個(gè)數(shù)不足n時(shí)，就在后面補(bǔ)上適當(dāng)個(gè)數(shù)的1，使得湊成個(gè)。設(shè)所得排列為：

這也說(shuō)明了這樣一個(gè)事實(shí)：如果兩個(gè)同級(jí)的數(shù)字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變因子，因而它們相似。反之，如果兩個(gè)矩陣相似，則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初等因子。

參考資料來(lái)源：百度百科-初等因子