泰勒公式怎么展開 泰勒公式的展開。
求大神把泰勒公式中常用函數(shù)的展開式寫給我謝謝了,要詳細的,泰勒公式的展開,泰勒公式是怎么展開的?或者說展開的計算是怎么得到的?泰勒公式展開。
本文導(dǎo)航
泰勒公式常用函數(shù)
泰勒公式是將一個在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x)利用關(guān)于(x-x0)的n次多項式來逼近函數(shù)的方法。
若函數(shù)f(x)在包含x0的某個閉區(qū)間[a,b]上具有n階導(dǎo)數(shù),且在開區(qū)間(a,b)上具有(n+1)階導(dǎo)數(shù),則對閉區(qū)間[a,b]上任意一點x,成立下式:
其中,表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù),等號后的多項式稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒展開式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余項,是(x-x0)n的高階無窮小。
余項
泰勒公式的余項Rn(x)可以寫成以下幾種不同的形式:
1、佩亞諾(Peano)余項:
這里只需要n階導(dǎo)數(shù)存在。
2、施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche)余項:
其中θ∈(0,1),p為任意正實數(shù)。(注意到p=n+1與p=1分別對應(yīng)拉格朗日余項與柯西余項);[2]
3、拉格朗日(Lagrange)余項:
其中θ∈(0,1)。
4、柯西(Cauchy)余項:
其中θ∈(0,1)。
5、積分余項:
其中以上諸多余項事實上很多是等價的。
帶佩亞諾余項
以下列舉一些常用函數(shù)的泰勒公式:
擴展資料:
實際應(yīng)用中,泰勒公式需要截斷,只取有限項,一個函數(shù)的有限項的泰勒級數(shù)叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項可以用于估算這種近似的誤差。
泰勒展開式的重要性體現(xiàn)在以下五個方面:
1、冪級數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項進行,因此求和函數(shù)相對比較容易。
2、一個解析函數(shù)可被延伸為一個定義在復(fù)平面上的一個開片上的解析函數(shù),并使得復(fù)分析這種手法可行。
3、泰勒級數(shù)可以用來近似計算函數(shù)的值,并估計誤差。
4、證明不等式。
5、求待定式的極限。
泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠平滑的話,在已知函數(shù)在某一點的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下,泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數(shù)值之間的偏差。
泰勒公式得名于英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒。他在1712年的一封信里首次敘述了這個公式,盡管1671年詹姆斯·格雷高里已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的特例。拉格朗日在1797年之前,最先提出了帶有余項的現(xiàn)在形式的泰勒定理。
參考資料:
泰勒公式_百度百科
泰勒公式的展開。
因為泰勒公式是展開成冪級數(shù)形式的,所以次數(shù)都是后一項比前一項大一。而這里的展開后一項是0,所以這里寫x^5和x^6都行。只要寫前面的項次數(shù)的高階無窮小就行,這是泰勒展開的皮亞諾余項形式。
泰勒公式是怎么展開的?或者說展開的計算是怎么得到的?
a是你取得一個數(shù),底下那個就是取a=0推出的,就是sinx的麥克勞林公式。
泰勒公式是用來彌補微分運算的不足--無法估計誤差。泰勒公式越往后面誤差越小,就比如e^x,你隨便取一個數(shù)代入公式,越往后算越接近e^x的真實值。
泰勒公式展開
泰勒公式展開是:f(x)在x=0。泰勒公式,應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理領(lǐng)域,是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠平滑的話,在已知函數(shù)在某一點的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下,泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值。
函數(shù)(function)的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義,函數(shù)的兩個定義本質(zhì)是相同的,只是敘述概念的出發(fā)點不同,傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā),而近代定義是從集合、映射的觀點出發(fā)。函數(shù)的近代定義是給定一個數(shù)集A,假設(shè)其中的元素為x,對A中的元素x施加對應(yīng)法則f,記作f(x),得到另一數(shù)集B,假設(shè)B中的元素為y,則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f(x)表示,函數(shù)概念含有三個要素:定義域A、值域B和對應(yīng)法則f。其中核心是對應(yīng)法則f,它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。
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