什么時(shí)候要單位化 線性代數(shù)的正交公式

二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型什么時(shí)候需要單位化？求可逆矩陣P的時(shí)候，什么情況要單位化，什么時(shí)候不用？為什么要單位化？線性代數(shù) 由二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型,什么情況需要單位化正交化,什么時(shí)候不用?謝謝!？特征向量什么時(shí)候需要單位化？求助 什么情況需要單位化什么時(shí)候正交化？

本文導(dǎo)航

• 二次型化為規(guī)范型步驟
• 求二次型矩陣要不要單位化
• 什么是基礎(chǔ)解系的單位化
• 線性代數(shù)的正交公式
• 特征向量標(biāo)準(zhǔn)正交化怎么求
• 如果指標(biāo)單位一樣還需要標(biāo)準(zhǔn)化嗎

二次型化為規(guī)范型步驟

用特征值特征向量方法求標(biāo)準(zhǔn)形時(shí), 需變換是正交變換

所以要把構(gòu)成矩陣P的特征向量正交化和單位化

求二次型矩陣要不要單位化

我覺得是，題目要求正交矩陣的時(shí)候才要正交化單位化（一般是求實(shí)對(duì)稱矩陣的正交變換化為對(duì)角形的時(shí)候），如果題目只要求可逆矩陣P的時(shí)候就不需要。

什么是基礎(chǔ)解系的單位化

終于想起來原因了，樓主，你的情況我也出現(xiàn)過。在樓主眼里，n個(gè)n維正交向量組組成的矩陣必為正交陣。其實(shí)不然，正交陣要求A乘以A的轉(zhuǎn)置后等于單位陣。加入A=（a1,a2,a3,a4)其中a1,a2,a3,a4為四位列向量，且兩兩正交。則A與AT相乘后對(duì)角線上的四個(gè)數(shù)字必為bjj=aj乘以aj轉(zhuǎn)=||aj||，j=(1，2，3，4）假如||aj||不等于1，那就不是單位陣了，就變成了對(duì)角陣。幾個(gè)易混淆和出錯(cuò)的概念1.AB=E并不代表A，B可逆。2.AAT=E并不代表A是正交陣。

線性代數(shù)的正交公式

我們以二次型矩陣A的特征矩陣為基礎(chǔ)，利用正交化法進(jìn)行變換，思路是正交矩陣（AAT=E)的轉(zhuǎn)置等于逆，利用正交矩陣使A對(duì)角化(以特征值為對(duì)角線元素的對(duì)角矩陣)。

注意：正交矩陣不同列內(nèi)積均為0，也就是列向量正交，且每列元素平方和均為1，也就是單位化，矩陣列向量正交不代表矩陣就是正交矩陣！

分兩種情況：

二次型矩陣A是實(shí)對(duì)稱矩陣(必可對(duì)角化)，如果其特征值λ互異，那么對(duì)應(yīng)特征向量必正交(對(duì)角稱矩陣的性質(zhì))，由其構(gòu)成的矩陣只需單位化(列向量分別除以模)，就可得到正交變換矩陣；

否則，二次型矩陣A相同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，取基礎(chǔ)解系，與其它互異特征值對(duì)應(yīng)的特征向量一起構(gòu)成矩陣，只需對(duì)基礎(chǔ)解系施密特正交變換(正交化)，然后對(duì)矩陣單位化(勿忘！)。

變換的結(jié)果是特征值λ為系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型。

特征向量標(biāo)準(zhǔn)正交化怎么求

1、如果A是實(shí)對(duì)稱矩陣，要求求正交矩陣P，使P^T*A*P成為對(duì)角陣，則求得的A的特征向量要先正交化（如果A有重特征值），再單位化，然后才可以寫出正交陣P。

2、在二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的題目里，如果要求求正交變換，則求得的二次型矩陣A的特征向量要先正交化（如果A有重特征值），再單位化，然后才可以寫出正交變換的。

一個(gè)矩陣A的特征值可以通過求解方程pA(λ) = 0來得到。 若A是一個(gè)n×n矩陣，則pA為n次多項(xiàng)式，因而A最多有n個(gè)特征值。

反過來，代數(shù)基本定理說這個(gè)方程剛好有n個(gè)根，如果重根也計(jì)算在內(nèi)的話。所有奇數(shù)次的多項(xiàng)式必有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因此對(duì)于奇數(shù)n，每個(gè)實(shí)矩陣至少有一個(gè)實(shí)特征值。在實(shí)矩陣的情形，對(duì)于偶數(shù)或奇數(shù)的n，非實(shí)數(shù)特征值成共軛對(duì)出現(xiàn)。

擴(kuò)展資料

任意給定一個(gè)矩陣A，并不是對(duì)所有的x它都能拉長（縮短）。凡是能被A拉長（縮短）的向量稱為A的特征向量(Eigenvector)；拉長（縮短）量就為這個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)的特征值（Eigenvalue）。

值得注意的是，我們說的特征向量是一類向量，因?yàn)槿我庖粋€(gè)特征向量隨便乘以一個(gè)標(biāo)量結(jié)果肯定也滿足以上方程，當(dāng)然這兩個(gè)向量都可以看成是同一個(gè)特征向量，而且它們也都對(duì)應(yīng)同一個(gè)特征值。

如果特征值是負(fù)數(shù)，那說明了矩陣不但把向量拉長（縮短）了，而且讓向量指向了相反的方向。一個(gè)矩陣可能可以拉長（縮短）好幾個(gè)向量，所以它可能就有好多個(gè)特征值。如果A是實(shí)對(duì)稱矩陣，那么那些不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量肯定是互相正交的。

一個(gè)變換矩陣的所有特征向量組成了這個(gè)變換矩陣的一組基。所謂基可以理解為坐標(biāo)系的軸。我們平常用到的大多是直角坐標(biāo)系，在線形代數(shù)中可以把這個(gè)坐標(biāo)系扭曲、拉伸、旋轉(zhuǎn)，稱為基的變換。我們可以按我們的需求去設(shè)定基，但是基的軸之間必須是線形無關(guān)的。

也就是保證坐標(biāo)系的不同軸不要指向同一個(gè)方向或可以被別的軸組合而成，否則的話原來的空間就“撐”不起來了。在主成分分析(Principal Component Analysis)中我們通過在拉伸最大的方向設(shè)置基，忽略一些小的量，可以極大地壓縮數(shù)據(jù)而減小失真。

變換矩陣的所有特征向量作為空間的基之所以重要，是因?yàn)樵谶@些方向上變換矩陣可以拉伸向量而不必扭曲和旋轉(zhuǎn)它，使得計(jì)算大為簡單。所以特征值固然重要，終極目標(biāo)卻是特征向量。

參考資料來源：百度百科-特征向量

如果指標(biāo)單位一樣還需要標(biāo)準(zhǔn)化嗎

首先明確，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必正交。然后，以三階為例，重根λ1=λ2，λ3=C，

這時(shí)λ1、λ2重根，考慮是否需要施密特正交，如果λ1、λ2對(duì)應(yīng)的特征向量乘一下，內(nèi)積為0就不需要施密特了，如果內(nèi)積不為0則要先將λ1、λ2對(duì)應(yīng)的特征向量正交化一下，最后三個(gè)特征向量一起單位化。

小結(jié)：特征值有重根需要在單位化之前考慮一下重根特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是否需要施密特正交化

回到題主所問，這類問題一般出現(xiàn)在讓你求正交矩陣P，使 PTAP=∧ 或者 P逆AP=∧ (PT：T是上標(biāo)，PT即P的轉(zhuǎn)置矩陣，∧：對(duì)角矩陣，P逆：P的逆矩陣)

這時(shí)的正交矩陣就需要單位化

從考研角度答的，如有誤，請(qǐng)指正!