有界數(shù)列n分之一的下界是什么 數(shù)列的定義及性質(zhì)是什么

為什么n/(n+1)是單調(diào)遞減的有界數(shù)列，這個是不是只有下界，可是有界不是必須有上界和下界么？什么是有界數(shù)列？怎么證明？n分之1為什么是有界數(shù)列？數(shù)列1/n是有極限的，那么它一定有界，它的界在哪呢？有界數(shù)列的定義是什么？數(shù)列有界的定義是什么？

本文導航

• 單調(diào)遞增的數(shù)列為啥有上界
• 怎么證明數(shù)列收斂一定有界
• n加1分之一是收斂還是發(fā)散
• 數(shù)列的第一項是n必須等于1嗎
• 為什么有界數(shù)列不一定是收斂數(shù)列
• 數(shù)列的定義及性質(zhì)是什么

單調(diào)遞增的數(shù)列為啥有上界

首先這個數(shù)列是有界的，它既有上界又有下界，下界自然是0，而n/(n+1)=1/(1+1/n)<1，故有上界1，所以是有界的。另外，為了說明這個數(shù)列收斂，考慮到它是單減的，因此只要有下界，就足矣說明這個數(shù)列極限存在了，上界有沒有都無所謂。

怎么證明數(shù)列收斂一定有界

有界數(shù)列，是數(shù)學領域的定理，是指任一項的絕對值都小于等于某一正數(shù)的數(shù)列。有界數(shù)列是指數(shù)列中的每一項均不超過一個固定的區(qū)間，其中分上界和下界。假設存在定值a，任意n有{An（n為下角標，下同）=B，稱數(shù)列{An}有下界B，如果同時存在A、B時的數(shù)列{An}的值在區(qū)間[A,B]內(nèi)，數(shù)列有界。

1、有界數(shù)列的定義：

若數(shù)列{Xn}滿足：對一切n 有Xn≤M 其中M是與n無關的常數(shù);稱數(shù)列{Xn}上有界（有上界）并稱M是他的一個上界，對一切n 有Xn≥m 其中m是與n無關的常數(shù) 稱數(shù)列{Xn}下有界（有下界）并稱m是他的一個下界，一個數(shù)列{Xn}，若既有上界又有下界，則稱之為有界數(shù)列。顯然數(shù)列{Xn}有界的一個等價定義是：存在正實數(shù)X，使得數(shù)列的所有項都滿足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。

2、有界數(shù)列的證明：

∵ 數(shù)列{Xn}是收斂的

∴ 設其極限為a

根據(jù)數(shù)列極限的定義，對于ε=1，存在正整數(shù)N

當n>N是不等式|Xn-a|N時，|Xn|=|(Xn-a)+a|

證畢。

3、有界數(shù)列示例：

（1）1，2，3，4

（2）{1/n}，n=1，2，3...

擴展資料：

1、有界數(shù)列的應用:

數(shù)列有極限的必要條件：

數(shù)列單調(diào)增且有上界 或 數(shù)列單調(diào)減且有下界=>數(shù)列有極限。

2、函數(shù)的有界性：

函數(shù)的有界性定義：若存在兩個常數(shù)m和M，使函數(shù)y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D 。 則稱函數(shù)y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

3、函數(shù)有界性的要點：

（1）函數(shù)在某區(qū)間上不是有界就是無界，二者必屬其一；

（2）從幾何學的角度很容易判別一個函數(shù)是否有界．如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函數(shù)的圖形介于它們之間，那么函數(shù)一定是無界的。

參考資料來源：百度百科 - 有界數(shù)列

參考資料來源：百度百科 - 有界性

n加1分之一是收斂還是發(fā)散

因為n從1開始取得，所以上界是1，當n→∞，1/n就趨向于0，所以有下界

既有上界又有下界所以是有界數(shù)列

數(shù)列的第一項是n必須等于1嗎

數(shù)列肯定有下界，上面你所說的數(shù)列是有極限的，也就是說數(shù)列是收斂的，因此它的上界是n趨于無窮大時的極限，很顯然，它的極限是0，因此，它的上界也就是0，所以該數(shù)列的上界與下界都存在，再取上界與下界兩個值中的最大者就是數(shù)列的界了。

為什么有界數(shù)列不一定是收斂數(shù)列

定義：

若數(shù)列｛Xn}滿足：對一切n有Xn≤M（其中M是與n無關的常數(shù)）稱數(shù)列｛Xn}上有界（有上界）并稱M是他的一個上界。

對一切n有Xn≥m（其中m是與n無關的常數(shù)）稱數(shù)列｛Xn}下有界（有下界）并稱m是他的一個下界。

一個數(shù)列｛Xn}，若既有上界又有下界，則稱之為有界數(shù)列。顯然數(shù)列｛Xn}有界的一個等價定義是：存在正實數(shù)X，使得數(shù)列的所有項都滿足｜Xn|≤X，n=1,2,3。

有界數(shù)列，是數(shù)學領域的定理，是指任一項的絕對值都小于等于某一正數(shù)的數(shù)列。有界數(shù)列是指數(shù)列中的每一項均不超過一個固定的區(qū)間，其中分上界和下界。

應用：

數(shù)列有極限的必要條件：

數(shù)列單調(diào)增且有上界或數(shù)列單調(diào)減且有下界＝>數(shù)列有極限。

數(shù)列的定義及性質(zhì)是什么

有界數(shù)列，是數(shù)學領域的定理，是指任一項的絕對值都小于等于某一正數(shù)的數(shù)列。有界數(shù)列是指數(shù)列中的每一項均不超過一個固定的區(qū)間，其中分上界和下界。

若數(shù)列{Xn}滿足：對一切n 有Xn≤M（其中M是與n無關的常數(shù)） 稱數(shù)列{Xn}上有界（有上界）并稱M是他的一個上界。

對一切n 有Xn≥m（其中m是與n無關的常數(shù)）稱數(shù)列{Xn}下有界（有下界）并稱m是他的一個下界。

一個數(shù)列{Xn}，若既有上界又有下界，則稱之為有界數(shù)列。顯然數(shù)列{Xn}有界的一個等價定義是：存在正實數(shù)X，使得數(shù)列的所有項都滿足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。

有界數(shù)列，是數(shù)學領域的定理，是指任一項的絕對值都小于等于某一正數(shù)的數(shù)列。有界數(shù)列是指數(shù)列中的每一項均不超過一個固定的區(qū)間，其中分上界和下界。

應用：

數(shù)列有極限的必要條件：

數(shù)列單調(diào)增且有上界或數(shù)列單調(diào)減且有下界＝>數(shù)列有極限。