什么是中值定理 積分中值定理怎么考

拉格朗日中值定理 “中值”指的是什么？積分中值定理是什么？廣義積分中值定理是什么？第一積分中值定理是什么？三個(gè)中值定理的內(nèi)容是什么？費(fèi)馬定理中值定理是什么？

本文導(dǎo)航

• 拉格朗日中值定理的證明例題
• 第一積分中值定理內(nèi)容
• 廣義積分詳細(xì)計(jì)算過程
• 積分中值定理怎么考
• 中值公式與中值定理
• 費(fèi)馬大定理發(fā)展過程

拉格朗日中值定理的證明例題

如果函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立。其中ξ就是中值.

第一積分中值定理內(nèi)容

積分中值定理是一種數(shù)學(xué)定律。分為積分第一中值定理和積分第二中值定理。

1、第一定理

如果函數(shù);;、;;在閉區(qū)間;;上連續(xù)，且;;在;;上不變號(hào)， 則在積分區(qū)間;;上至少存在一個(gè)點(diǎn);ξ，使下式成立：

。

2、第二定理

如果函數(shù);、;;在閉區(qū)間;;上可積，且;;為單調(diào)函數(shù)，則在積分區(qū)間;;上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ;，使下式成立：

。

擴(kuò)展資料：

定理應(yīng)用

1、積分中值定理在應(yīng)用中所起到的重要作用是可以使積分號(hào)去掉，或者使復(fù)雜的被積函數(shù)化為相對(duì)簡單的被積函數(shù)，從而使問題簡化。

2、某些帶積分式的函數(shù), 常常會(huì)有要求判定某些性質(zhì)的點(diǎn)的存在的問題, 有時(shí)運(yùn)用積分中值定理能使問題迎刃而解。

參考資料：百度百科—積分中值定理

廣義積分詳細(xì)計(jì)算過程

廣義積分中值定理是反映函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間聯(lián)系的重要定理，也是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，在許多方面它都有重要的作用，在進(jìn)行一些公式推導(dǎo)與定理證明中都有很多應(yīng)用。

中值定理是由眾多定理共同構(gòu)建的，其中拉格朗日中值定理是核心，羅爾定理是其特殊情況，柯西定理是其推廣。

函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)不同的函數(shù)；而導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點(diǎn)的局部特征；如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，就需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系，微分中值定理就是這種作用。

實(shí)際應(yīng)用

微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中，有越來越廣泛的應(yīng)用。特別是計(jì)算機(jī)的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。

客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。

由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。

積分中值定理怎么考

積分中值定理是一種數(shù)學(xué)定律。

積分中值定理：f(x)在a到b上的積分等于(a-b)f(c)，其中c滿足a<c。

內(nèi)容是說一段連續(xù)光滑曲線中必然有一點(diǎn)，它的斜率與整段曲線平均斜率相同（嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)參見下文）。中值定理又稱為微分學(xué)基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改變量定理等。

中值指的是區(qū)間（a，b）的兩個(gè)端點(diǎn)所連直線的斜率，這個(gè)定理就是說如果在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導(dǎo)。

積分中值定理分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個(gè)公式。積分中值定理揭示了一種將積分化為函數(shù)值， 或者是將復(fù)雜函數(shù)的積分化為簡單函數(shù)的積分的方法， 是數(shù)學(xué)分析的基本定理和重要手段， 在求極限、判定某些性質(zhì)點(diǎn)、估計(jì)積分值等方面應(yīng)用廣泛。

那么總有那么一個(gè)值能夠使已知曲線的斜率和直線斜率相等，其他的斜率都會(huì)比這個(gè)大或者小。事實(shí)上如果你看過羅爾定理，那么你就會(huì)更理解這個(gè)中值的意義了，在那個(gè)定理中，中值指的是斜率為0。

中值公式與中值定理

三個(gè)中值定理分別是拉格朗日中值定理、柯西中值定理、積分中值定理。

拉格朗日中值定理：一段連續(xù)光滑曲線中必然有一點(diǎn)，它的斜率與整段曲線平均斜率相同?？挛髦兄刀ɡ泶致缘乇砻?，對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)之間的給定平面弧，至少有一個(gè)點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。

柯西中值定理：其幾何意義為，用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。該定理可以視作在參數(shù)方程下拉格朗日中值定理的表達(dá)形式。

積分中值定理：這個(gè)定理的幾何意義為若f(x)≥0，x∈[a,b]，則由x軸、x=a、x=b及曲線y=f(x)圍成的曲邊梯形的面積等于一個(gè)長為b-a，寬為f(ξ)的矩形的面積。

以下是中值定理應(yīng)用的相關(guān)介紹：

在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對(duì)于原來的式子要從哪去證明，很不容易去聯(lián)系其它，只從式子本身所表達(dá)的意思去證明。

無窮?。ù螅┝侩A的比較時(shí)，看到兩個(gè)無窮小（大）量之比的極限可能存在，也可能不存在。如果存在，其極限值也不盡相同。稱兩個(gè)無窮小量或兩個(gè)無窮大量之比的極限為 型或 型不定式極限。

解決這種極限的問題通常要用到洛比達(dá)法則。這是法則的內(nèi)容，而在計(jì)算時(shí)往往都是直接的應(yīng)用結(jié)論，沒有注意到定理本身的證明，而這個(gè)定理的證明也應(yīng)用到了中值定理。

以上資料參考百度百科——中值定理

費(fèi)馬大定理發(fā)展過程

費(fèi)馬定理中值定理。拉格朗日中值定理，是羅爾中值定理的推廣，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個(gè)特例，即函數(shù)在定義域內(nèi)兩端點(diǎn)函數(shù)值相等的特例?？挛髦兄刀ɡ?，是拉格朗日中值定理的一個(gè)特例，即，g(x)=x，結(jié)論就變成了拉格朗日中值定理。

費(fèi)馬中值定理公式:

利用連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間的介值定理可解決的一類中值問題，即證明存在ξ∈[a，b]，使得某個(gè)命題成立。

利用羅爾定理、費(fèi)馬定理可解決的一類中值定理，即證明存在ξ∈[a，b]，使得H(ξ，f(ξ)，f’(ξ))=0。