為什么可積不一定有原函數(shù) 所有函數(shù)都有不定積分嗎

為什么積分存在卻不一定有原函數(shù)？函數(shù)可積一定存在原函數(shù)嗎？原函數(shù)存在與函數(shù)可積這個(gè)怎么理解？可積函數(shù)一定存在原函數(shù)嗎？可積是否一定存在原函數(shù)，存在原函數(shù)一定可積嗎？

本文導(dǎo)航

• 所有函數(shù)都有不定積分嗎
• 任意函數(shù)都有原函數(shù)嗎
• 為什么可積原函數(shù)一定連續(xù)
• 函數(shù)是否連續(xù)與可積有什么關(guān)系
• 如何證明可積函數(shù)必有界
• 一個(gè)函數(shù)連續(xù)必定會(huì)存在原函數(shù)嗎

所有函數(shù)都有不定積分嗎

　　積分存在和有原函數(shù)是兩回事。

　　積分存在應(yīng)該指的是定積分存在（也稱 Riemann 可積，見定積分的定義），而有原函數(shù)卻是指的有函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于這個(gè)函數(shù)。比如 Riemann 函數(shù) R(x) 是 Riemann 可積的，但 R(x) 的原函數(shù)是什么卻不清楚。

任意函數(shù)都有原函數(shù)嗎

函數(shù)可積不一定存在原函數(shù)。按條件的強(qiáng)度來說，可積是個(gè)較弱的條件，因?yàn)榭煞e的充分條件是“在閉區(qū)間上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)。” 可積的必要條件就是函數(shù)有界。

函數(shù)可積，只能知道他的變限積分所構(gòu)造的函數(shù)連續(xù)。連續(xù)是比可積稍強(qiáng)的條件，也就是說，閉區(qū)間連續(xù)一定可積，且必有原函數(shù)，而且該函數(shù)的原函數(shù)一定可導(dǎo)。

可導(dǎo)是比連續(xù)更強(qiáng)的條件，也就是說可導(dǎo)——》連續(xù)——》可積。

可微是很強(qiáng)的條件，比可導(dǎo)還強(qiáng)，一元函數(shù)二者等價(jià)，多元函數(shù)可微比可導(dǎo)強(qiáng)。

偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)（我認(rèn)為）是最強(qiáng)的條件，可以推出上述的一切條件。一個(gè)函數(shù)如果可導(dǎo)，那么它的導(dǎo)函數(shù)是不可能存在第一類間斷點(diǎn)的，所以說一個(gè)函數(shù)如果存在第一類間斷點(diǎn)，那么它是不會(huì)有原函數(shù)的。

擴(kuò)展資料：

可積函數(shù)充分條件：

（1）設(shè);;在區(qū)間;;上連續(xù)，則;在;上可積。

（2）設(shè);;區(qū)間;;上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則;在;;上可積。

（3）設(shè);;在區(qū)間;;上單調(diào)有界，則;;在;;上可積。

若函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間內(nèi)必存在原函數(shù)，這是一個(gè)充分而不必要條件，也稱為“原函數(shù)存在定理”。

函數(shù)族F(x)+C(C為任一個(gè)常數(shù)）中的任一個(gè)函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù)，

故若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那么其原函數(shù)為無窮多個(gè)。

例如：x3是3x2的一個(gè)原函數(shù)，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函數(shù)。因此，一個(gè)函數(shù)如果有一個(gè)原函數(shù)，就有許許多多原函數(shù)，原函數(shù)概念是為解決求導(dǎo)和微分的逆運(yùn)算而提出來的。

例如：已知作直線運(yùn)動(dòng)的物體在任一時(shí)刻t的速度為v=v(t),要求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 ，就是求v=v(t)的原函數(shù)。原函數(shù)的存在問題是微積分學(xué)的基本理論問題，當(dāng)f(x)為連續(xù)函數(shù)時(shí)，其原函數(shù)一定存在。

為什么可積原函數(shù)一定連續(xù)

如此簡單的問題，還是我來回答吧。第一，兩者絕對不等價(jià)，原函數(shù)存在不一定可積，譬如，F(xiàn)（X)的導(dǎo)數(shù)為f(x),但是f(x)是無界的，當(dāng)然不可積，這樣的例子是存在的，我手里有很多，建議數(shù)字符號(hào)不好輸，我就不列舉了。第2，可積不一定存在原函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)f(x)有界，且存在有限個(gè)間斷點(diǎn)是可積的，但是一旦這個(gè)間斷點(diǎn)是第一類間斷點(diǎn)，那么雖然可積，但原函數(shù)肯定不存在的。你那個(gè)C存在，就是可積分但原函數(shù)不存在的例子

函數(shù)是否連續(xù)與可積有什么關(guān)系

有這么兩個(gè)命題，均選自課本：

1，若f（x）在區(qū)間I上有有一類間斷點(diǎn)，則f（x）在I上不存在原函數(shù)。

2，f（x）在[a，b]上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)是可積的充要條件。

這樣是不是可以說明可積的函數(shù)不一定存在原函數(shù)？我來幫他解答

輸入內(nèi)容已經(jīng)達(dá)到長度限制還能輸入

9999

字插入圖片刪除圖片插入地圖刪除地圖插入視頻視頻地圖回答即可得2分經(jīng)驗(yàn)值，回答被選為滿意回答可同步增加經(jīng)驗(yàn)值和財(cái)富值參考資料：匿名回答提交回答取消

2010-9-11

20:32

滿意回答

是這樣的，可積不一定存在原函數(shù)。正好用一樓的例子，他給的函數(shù)存在第一類間斷點(diǎn)，在某個(gè)閉區(qū)間內(nèi)可積，如[-1,1]，可是原函數(shù)是不存在的，因?yàn)樵瘮?shù)必連續(xù)，只能說在x=0兩邊的區(qū)間內(nèi)分別存在原函數(shù)，但是對于在給定的包括0的整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)來說原函數(shù)是不存在的。不知道說的是否明白，第一個(gè)命題是正確的。

如何證明可積函數(shù)必有界

展開全部

是這樣的，可積不一定存在

原函數(shù)

。正好用一樓的例子，他給的函數(shù)存在

第一類間斷點(diǎn)

，在某個(gè)

閉區(qū)間

內(nèi)可積，如[-1,1]，可是原函數(shù)是不存在的，因?yàn)樵瘮?shù)必連續(xù)，只能說在x=0兩邊的區(qū)間內(nèi)分別存在原函數(shù)，但是對于在給定的包括0的整個(gè)

定義域

內(nèi)的函數(shù)來說原函數(shù)是不存在的。不知道說的是否明白，第一個(gè)命題是正確的。

一個(gè)函數(shù)連續(xù)必定會(huì)存在原函數(shù)嗎

函數(shù)可積不一定存在原函數(shù)。

按條件的強(qiáng)度來說，可積是個(gè)較弱的條件，因?yàn)榭煞e的充分條件是“在閉區(qū)間上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)?！?/p>

可積的條件：

可積的必要條件就是函數(shù)有界。

函數(shù)可積，只能知道他的變限積分所構(gòu)造的函數(shù)連續(xù)。

連續(xù)是比可積稍強(qiáng)的條件，也就是說，閉區(qū)間連續(xù)一定可積，且必有原函數(shù)，而且該函數(shù)的原函數(shù)一定可導(dǎo)。

可導(dǎo)是比連續(xù)更強(qiáng)的條件，也就是說可導(dǎo)——》連續(xù)——》可積。