怎么證矩陣相似 證明兩個(gè)矩陣等價(jià)的方法
怎么證明兩個(gè)矩陣相似呢？證明兩個(gè)矩陣相似的充要條件是什么？如何證明矩陣AB相似？有沒有小條件可以快速得到的呢？如何判斷一個(gè)矩陣的相似矩陣？線性代數(shù)，證明兩個(gè)矩陣相似，線性代數(shù)中怎么證明兩個(gè)矩陣相似？
本文導(dǎo)航
- 怎么證明兩個(gè)矩陣相似呢？
- 證明兩個(gè)矩陣等價(jià)的方法
- 如何證明矩陣AB相似？有沒有小條件可以快速得到的呢？
- 如何判斷一個(gè)矩陣的相似矩陣？
- 線性代數(shù)，證明兩個(gè)矩陣相似
- 線性代數(shù)中怎么證明兩個(gè)矩陣相似
怎么證明兩個(gè)矩陣相似呢？
都可以對(duì)角化就說明都與對(duì)角陣相似，且特征值相同，說明和同一對(duì)角陣相似，由相似的傳遞性可知，A B相似。
在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關(guān)系的矩陣。設(shè)A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)AP=B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B。
n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。
注： 定理的證明過程實(shí)際上已經(jīng)給出了把方陣對(duì)角化的方法。
擴(kuò)展資料：
若矩陣可對(duì)角化，則可按下列步驟來實(shí)現(xiàn)：
（1） 求出全部的特征值；
（2）對(duì)每一個(gè)特征值,設(shè)其重?cái)?shù)為k,則對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系由k個(gè)向量構(gòu)成，即為對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量；
（3）上面求出的特征向量恰好為矩陣的各個(gè)線性無關(guān)的特征向量。
將矩陣分解為由其特征值和特征向量表示的矩陣之積的方法。需要注意只有對(duì)可對(duì)角化矩陣才可以施以特征分解。
U是m×m階酉矩陣；Σ是m×n階實(shí)數(shù)對(duì)角矩陣；而V*，即V的共軛轉(zhuǎn)置，是n×n階酉矩陣。這樣的分解就稱作M的奇異值分解。Σ對(duì)角線上的元素Σi,i即為M的奇異值。常見的做法是將奇異值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一確定了。
參考資料來源：百度百科——相似矩陣
證明兩個(gè)矩陣等價(jià)的方法
AB是任意矩陣，沒有特別指明說AB是實(shí)對(duì)稱矩陣或者可對(duì)角化，若需要可以將以上將其作為充分必要條件的一部分。...
1、相似的定義為：對(duì)n階方陣A、B，若存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP=B，則稱A、B相似。
2、從定義出發(fā)，最簡單的充要條件即是：對(duì)于給定的A、B，能夠找到這樣的一個(gè)P，使得：
P^(-1)AP=B；或者：能夠找到一個(gè)矩陣C，使得A和B均相似于C。
3、進(jìn)一步地，如果A、B均可相似對(duì)角化，則他們相似的充要條件為：A、B具有相同的特征值。
4、再進(jìn)一步，
因?yàn)槊總€(gè)矩陣都相似于唯一一個(gè)其標(biāo)準(zhǔn)若爾當(dāng)型，
那么只要他們的標(biāo)準(zhǔn)若爾當(dāng)型相同（當(dāng)然他們的若爾當(dāng)塊可適當(dāng)調(diào)整位置），他們就相似。
如何證明矩陣AB相似？有沒有小條件可以快速得到的呢？
此問很籠統(tǒng)。若是AB都已知的話，只要將它們都化成行最簡形，若相同則它們相似；如果AB未知，只是給出一些條件，那就要具體分析了，大致是用相似的定義去證明。
如何判斷一個(gè)矩陣的相似矩陣？
答：根據(jù)題目知道A是對(duì)角矩陣，找A的相似對(duì)角矩陣。
一個(gè)矩陣相似對(duì)角陣的充分必要條件是：ni重特征值λ的特征向量有ni個(gè)。即r(λiE-A)=n-ni
根據(jù)原理我們求ABCD的特征值為：
特征值1為2重特征值，其對(duì)于的矩陣（E-A）的秩，r(E-A)=3-2=1
選項(xiàng)A，r(E-A)=2
選項(xiàng)B，r(E-A)=2
選項(xiàng)C，r(E-A)=1
選項(xiàng)D，r(E-A)=2
所以答案選擇C
擴(kuò)展知識(shí)：
相似矩陣的定義是：
設(shè)
A,B
都是
n
階矩陣，若有可逆矩陣
P
，使
P^{-1}AP=B
則稱
B
是
A
的相似矩陣，或說
A
和
B
相似。
特征向量：
矩陣A線性變換后，有某一些向量仍然在變后的空間保持原有的方向，只是這些向量被拉伸或者壓縮的了，稱為特征向量。
特征值：
矩陣進(jìn)行同一個(gè)維度的空間線性變換后，保持方向不變的特征向量的拉伸或者壓縮的倍數(shù)即是特征值， （驗(yàn)證在文末，參照“備注驗(yàn)證B”）
線性代數(shù)，證明兩個(gè)矩陣相似
都可以對(duì)角化就說明都與對(duì)角陣相似，且特征值相同，說明和同一對(duì)角陣相似，由相似的傳遞性可知，A B相似。
在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關(guān)系的矩陣。設(shè)A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)AP=B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B。
n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。
注： 定理的證明過程實(shí)際上已經(jīng)給出了把方陣對(duì)角化的方法。
擴(kuò)展資料：
若矩陣可對(duì)角化，則可按下列步驟來實(shí)現(xiàn)：
（1） 求出全部的特征值；
（2）對(duì)每一個(gè)特征值,設(shè)其重?cái)?shù)為k,則對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系由k個(gè)向量構(gòu)成，即為對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量；
（3）上面求出的特征向量恰好為矩陣的各個(gè)線性無關(guān)的特征向量。
將矩陣分解為由其特征值和特征向量表示的矩陣之積的方法。需要注意只有對(duì)可對(duì)角化矩陣才可以施以特征分解。
U是m×m階酉矩陣；Σ是m×n階實(shí)數(shù)對(duì)角矩陣；而V*，即V的共軛轉(zhuǎn)置，是n×n階酉矩陣。這樣的分解就稱作M的奇異值分解。Σ對(duì)角線上的元素Σi,i即為M的奇異值。常見的做法是將奇異值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一確定了。
參考資料來源：百度百科——相似矩陣
線性代數(shù)中怎么證明兩個(gè)矩陣相似
只需要證明兩個(gè)矩陣有相同的特征值。
得第一個(gè)矩陣特征值為2,1，-1
同理可得第二個(gè)矩陣特征值為2,1，-1
因此兩個(gè)矩陣都∽對(duì)角矩陣diag(2,1,-1)
由于相似的傳遞性，故兩矩陣相似
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