正態(tài)分布相除是什么分布 正態(tài)分布三個(gè)常用數(shù)據(jù)計(jì)算概率

正態(tài)分布的每個(gè)點(diǎn)的離差是什么分布？統(tǒng)計(jì)學(xué)中z分布、t分布、F分布及χ^2分布的聯(lián)系，兩個(gè)正態(tài)分布 相乘或者相除，期望和方差怎么計(jì)算啊? 不求詳細(xì)過程，只求思路，方法，或結(jié)果？正態(tài)分布的計(jì)算公式是什么？

本文導(dǎo)航

• 標(biāo)準(zhǔn)差決定了正態(tài)分布的寬窄程度
• 聯(lián)合分布律和分布函數(shù)關(guān)系
• 正態(tài)分布三個(gè)常用數(shù)據(jù)計(jì)算概率
• 正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換公式推導(dǎo)

標(biāo)準(zhǔn)差決定了正態(tài)分布的寬窄程度

目錄 1正態(tài)分布 目錄 1正態(tài)分布 收起 編輯本段正態(tài)分布 　　normal distribution

　　一種概率分布。正態(tài)分布是具有兩個(gè)參數(shù)μ和σ2的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，第一參數(shù)μ是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值，第二個(gè)參數(shù)σ2是此隨機(jī)變量的方差，所以正態(tài)分布記作N(μ，σ2 )。 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率規(guī)律為取與μ鄰近的值的概率大 ，而取離μ越遠(yuǎn)的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正態(tài)分布的密度函數(shù)的特點(diǎn)是：關(guān)于μ對稱，在μ處達(dá)到最大值，在正（負(fù)）無窮遠(yuǎn)處取值為0，在μ±σ處有拐點(diǎn)。它的形狀是中間高兩邊低 ，圖像是一條位于x軸上方的鐘形曲線。當(dāng)μ＝0，σ2 ＝1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N（0，1）。μ維隨機(jī)向量具有類似的概率規(guī)律時(shí)，稱此隨機(jī)向量遵從多維正態(tài)分布。多元正態(tài)分布有很好的性質(zhì)，例如，多元正態(tài)分布的邊緣分布仍為正態(tài)分布，它經(jīng)任何線性變換得到的隨機(jī)向量仍為多維正態(tài)分布，特別它的線性組合為一元正態(tài)分布。

　　正態(tài)分布最早由A.棣莫弗在求二項(xiàng)分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時(shí)從另一個(gè)角度導(dǎo)出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質(zhì)。

　　生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來描述。例如，在生產(chǎn)條件不變的情況下，產(chǎn)品的強(qiáng)力、抗壓強(qiáng)度、口徑、長度等指標(biāo)；同一種生物體的身長、體重等指標(biāo)；同一種種子的重量；測量同一物體的誤差；彈著點(diǎn)沿某一方向的偏差；某個(gè)地區(qū)的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等。一般來說，如果一個(gè)量是由許多微小的獨(dú)立隨機(jī)因素影響的結(jié)果，那么就可以認(rèn)為這個(gè)量具有正態(tài)分布（見中心極限定理）。從理論上看，正態(tài)分布具有很多良好的性質(zhì) ，許多概率分布可以用它來近似；還有一些常用的概率分布是由它直接導(dǎo)出的，例如對數(shù)正態(tài)分布、t分布、F分布等。

　　正態(tài)分布應(yīng)用最廣泛的連續(xù)概率分布，其特征是“鐘”形曲線。

　　 正態(tài)分布

　　1.正態(tài)分布

　　若已知的密度函數(shù)（頻率曲線）為正態(tài)函數(shù)（曲線）則稱已知曲線服從正態(tài)分布，記號 ～ 。其中μ、σ2 是兩個(gè)不確定常數(shù)，是正態(tài)分布的參數(shù)，不同的 、不同的 對應(yīng)不同的正態(tài)分布。

　　正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱，曲線與橫軸間的面積總等于1。

　　2．正態(tài)分布的特征

　　服從正態(tài)分布的變量的頻數(shù)分布由 、 完全決定。

　　(1) 是正態(tài)分布的位置參數(shù)，描述正態(tài)分布的集中趨勢位置。正態(tài)分布以 為對稱軸，左右完全對稱。正態(tài)分布的均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)相同，均等于 。

　　(2) 描述正態(tài)分布資料數(shù)據(jù)分布的離散程度， 越大，數(shù)據(jù)分布越分散， 越小，數(shù)據(jù)分布越集中。 也稱為是正態(tài)分布的形狀參數(shù)， 越大，曲線越扁平，反之， 越小，曲線越瘦高。

　　 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布standard normal distribution

　　1．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是一種特殊的正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的μ和σ2為0和1，通常用 （或Z）表示服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量，記為 Z～N（0，1）。

　　2．標(biāo)準(zhǔn)化變換：此變換有特性：若原分布服從正態(tài)分布 ，則Z=(x-μ)/σ ～ N(0,1) 就服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表就可以直接計(jì)算出原正態(tài)分布的概率值。故該變換被稱為標(biāo)準(zhǔn)化變換。

　　3. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

　　標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下從-∞到X(當(dāng)前值）范圍內(nèi)的面積比例 。

　　 正態(tài)曲線下面積分布

　　1．實(shí)際工作中，正態(tài)曲線下橫軸上一定區(qū)間的面積反映該區(qū)間的例數(shù)占總例數(shù)的百分比，或變量值落在該區(qū)間的概率（概率分布）。不同 范圍內(nèi)正態(tài)曲線下的面積可用公式計(jì)算。

　　2.幾個(gè)重要的面積比例

　　軸與正態(tài)曲線之間的面積恒等于1。正態(tài)曲線下，橫軸區(qū)間（μ-σ，μ+σ）內(nèi)的面積為68.27%，橫軸區(qū)間（μ-1.96σ，μ+1.96σ）內(nèi)的面積為95.00%，橫軸區(qū)間（μ-2.58σ，μ+2.58σ）內(nèi)的面積為99.00%。

　　 正態(tài)分布的應(yīng)用

　　某些醫(yī)學(xué)現(xiàn)象，如同質(zhì)群體的身高、紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白量，以及實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)誤差，呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布；有些指標(biāo)（變量）雖服從偏態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后的新變量可服從正態(tài)或近似正態(tài)分布，可按正態(tài)分布規(guī)律處理。其中經(jīng)對數(shù)轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標(biāo)，被稱為服從對數(shù)正態(tài)分布。

　　1. 估計(jì)頻數(shù)分布 一個(gè)服從正態(tài)分布的變量只要知道其均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差就可根據(jù)公式即可估計(jì)任意取值范圍內(nèi)頻數(shù)比例。

　　2. 制定參考值范圍

　?。?）正態(tài)分布法 適用于服從正態(tài)（或近似正態(tài)）分布指標(biāo)以及可以通過轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標(biāo)。

　?。?）百分位數(shù)法 常用于偏態(tài)分布的指標(biāo)。表3-1中兩種方法的單雙側(cè)界值都應(yīng)熟練掌握。

　　3. 質(zhì)量控制：為了控制實(shí)驗(yàn)中的測量（或?qū)嶒?yàn)）誤差，常以 作為上、下警戒值，以 作為上、下控制值。這樣做的依據(jù)是：正常情況下測量（或?qū)嶒?yàn)）誤差服從正態(tài)分布。

　　4. 正態(tài)分布是許多統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)。 檢驗(yàn)、方差分析、相關(guān)和回歸分析等多種統(tǒng)計(jì)方法均要求分析的指標(biāo)服從正態(tài)分布。許多統(tǒng)計(jì)方法雖然不要求分析指標(biāo)服從正態(tài)分布，但相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量在大樣本時(shí)近似正態(tài)分布，因而大樣本時(shí)這些統(tǒng)計(jì)推斷方法也是以正態(tài)分布為理論基礎(chǔ)的。

　　 研究過程

　　正態(tài)分布的概念和特征一、正態(tài)分布的概念

　　由一般分布的頻數(shù)表資料所繪制的直方圖，圖（1）可以看出，高峰位于中部，左右兩側(cè)大致對稱。我們設(shè)想，如果觀察例數(shù)逐漸增多，組段不斷分細(xì)，直方圖頂端的連線就會逐漸形成一條高峰位于中央（均數(shù)所在處），兩側(cè)逐漸降低且左右對稱，不與橫軸相交的光滑曲線圖（3）。這條曲線稱為頻數(shù)曲線或頻率曲線，近似于數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布（normal distribution）。由于頻率的總和為100%或1，故該曲線下橫軸上的面積為100%或1。

　 為了應(yīng)用方便，常對正態(tài)分布變量X作變量變換。

　　該變換使原來的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (standard normal distribution)，亦稱u分布。u被稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差（standard normal deviate）。

　　二、正態(tài)分布的特征：

　　1．正態(tài)曲線（normal curve）在橫軸上方均數(shù)處最高。

　　2．正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右對稱。

　　3．正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。μ是位置參數(shù)，當(dāng)σ固定不變時(shí)，μ越大，曲線沿橫軸越向右移動；反之，μ越小，則曲線沿橫軸越向左移動。σ是形狀參數(shù)，當(dāng)μ固定不變時(shí)，σ越大，曲線越平闊；σ越小，曲線越尖峭。通常用N~（μ，σ2）表示均數(shù)為μ，方差為σ2的正態(tài)分布。用N（0，1）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

　　4．正態(tài)曲線下面積的分布有一定規(guī)律。

　　實(shí)際工作中，常需要了解正態(tài)曲線下橫軸上某一區(qū)間的面積占總面積的百分?jǐn)?shù)，以便估計(jì)該區(qū)間的例數(shù)占總例數(shù)的百分?jǐn)?shù)（頻數(shù)分布）或觀察值落在該區(qū)間的概率。正態(tài)曲線下一定區(qū)間的面積可以通過附表1求得。對于正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料，已知均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，就可對其頻數(shù)分布作出概約估計(jì)。

　　查附表1應(yīng)注意：①表中曲線下面積為-∞到u的左側(cè)累計(jì)面積；②當(dāng)已知μ、σ和X時(shí)先按式u=(X-μ)/σ求得u值，再查表，當(dāng)μ、σ未知且樣本含量n足夠大時(shí)，可用樣本均數(shù)X1和標(biāo)準(zhǔn)差S分別代替μ和σ，按u=(X-X1)/S式求得u值，再查表；③曲線下對稱于0的區(qū)間面積相等，如區(qū)間（-∞，-1.96）與區(qū)間（1.96，∞）的面積相等，④曲線下橫軸上的總面積為100%或1。

　　圖2 正態(tài)曲線與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的面積分布

　　第二節(jié) 正態(tài)分布的應(yīng)用某些醫(yī)學(xué)現(xiàn)象，如同質(zhì)群體的身高、紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白量、膽固醇等，以及實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)誤差，呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布；有些資料雖為偏態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)變換后可成為正態(tài)或近似正態(tài)分布，故可按正態(tài)分布規(guī)律處理。

　　1．估計(jì)正態(tài)分布資料的頻數(shù)分布

　　例1.10 某地1993年抽樣調(diào)查了100名18歲男大學(xué)生身高（cm），其均數(shù)=172.70cm，標(biāo)準(zhǔn)差s=4.01cm，①估計(jì)該地18歲男大學(xué)生身高在168cm以下者占該地18歲男大學(xué)生總數(shù)的百分?jǐn)?shù)；②分別求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范圍內(nèi)18歲男大學(xué)生占該地18歲男大學(xué)生總數(shù)的實(shí)際百分?jǐn)?shù)，并與理論百分?jǐn)?shù)比較。

　　本例，μ、σ未知但樣本含量n較大，按式（3.1）用樣本均數(shù)X和標(biāo)準(zhǔn)差S分別代替μ和σ，求得u值，u=(168-172.70)/4.01=-1.17。查附表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積，在表的左側(cè)找到-1.1，表的上方找到0.07，兩者相交處為0.1210=12.10%。該地18歲男大學(xué)生身高在168cm以下者，約占總數(shù)12.10%。其它計(jì)算結(jié)果見表3。

　　表3 100名18歲男大學(xué)生身高的實(shí)際分布與理論分布

　　 分布

　　x+-s

　　身高范圍（cm）

　　實(shí)際分布

　　人數(shù)

　　實(shí)際分布

　　百分?jǐn)?shù)（%）

　　理論分布（%）

　　X+-1s

　　168.69～176.71

　　6767.0068.27

　　X +-1.96s164.84～180.56

　　9595.0095.00

　　X+-2.58s162.35～183.05

　　9999.0099.00

　　2．制定醫(yī)學(xué)參考值范圍：亦稱醫(yī)學(xué)正常值范圍。它是指所謂“正常人”的解剖、生理、生化等指標(biāo)的波動范圍。制定正常值范圍時(shí)，首先要確定一批樣本含量足夠大的“正常人”，所謂“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影響所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)人群；其次需根據(jù)研究目的和使用要求選定適當(dāng)?shù)陌俜纸缰?，?0%，90%，95%和99%，常用95%；根據(jù)指標(biāo)的實(shí)際用途確定單側(cè)或雙側(cè)界值，如白細(xì)胞計(jì)數(shù)過高過低皆屬不正常須確定雙側(cè)界值，又如肝功中轉(zhuǎn)氨酶過高屬不正常須確定單側(cè)上界，肺活量過低屬不正常須確定單側(cè)下界。另外，還要根據(jù)資料的分布特點(diǎn)，選用恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法。常用方法有：

　?。?）正態(tài)分布法：適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料。

　　雙側(cè)界值：X+-u(u)^S單側(cè)上界：X+u(u)^S，或單側(cè)下界：X-u(u)^S

　　（2）對數(shù)正態(tài)分布法：適用于對數(shù)正態(tài)分布資料。

　　雙側(cè)界值：lg-1[X(lgx)+-u(u)S(lgx)]；單側(cè)上界：lg-1[X(lgx)+u(u)S(lgx)]，或單側(cè)下界：lg-1[X(lgx)-u(u)S(lgx)]。

　　常用u值可根據(jù)要求由表4查出。

　?。?）百分位數(shù)法：常用于偏態(tài)分布資料以及資料中一端或兩端無確切數(shù)值的資料。

　　雙側(cè)界值：P2.5和P97.5；單側(cè)上界：P95，或單側(cè)下界：P5。

　　表4常用u值表

　　 參考值范圍(%)單側(cè)雙側(cè)800.842

　　1.282

　　901.282

　　1.645951.6451.960992.3262.576

　　3．正態(tài)分布是許多統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)：如t分布、F分布、x2分布都是在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，u檢驗(yàn)也是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，t分布、二項(xiàng)分布、Poisson分布的極限為正態(tài)分布，在一定條件下，可以按正態(tài)分布原理來處理。

聯(lián)合分布律和分布函數(shù)關(guān)系

Z就是正態(tài)分布，X^2分布是一個(gè)正態(tài)分布的平方，t分布是一個(gè)正態(tài)分布除以（一個(gè)X^2分布除以它的自由度然后開根號），F(xiàn)分布是兩個(gè)卡方分布分布除以他們各自的自由度再相除。

比如X是一個(gè)Z分布，Y(n)=X1^2+X2^2+……+Xn^2,這里每個(gè)Xn都是一個(gè)Z分布，t(n)=X/根號(Y/n),F（m,n）=(Y1/m)/(Y2/N)。

統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)能力要求：

1，具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，受到比較嚴(yán)格的科學(xué)思維訓(xùn)練；

2，掌握統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本理論、基本知識、基本方法和計(jì)算機(jī)操作技能；具有采集數(shù)據(jù)、設(shè)計(jì)調(diào)查問卷和處理調(diào)查數(shù)據(jù)的基本能力；

3，了解與社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)、醫(yī)藥衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)、生物統(tǒng)計(jì)或工業(yè)統(tǒng)計(jì)等有關(guān)的自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)的基本知識，具有應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)理論分析、解決該領(lǐng)域?qū)嶋H問題的初步能力；

4，了解統(tǒng)計(jì)學(xué)理論與方法的發(fā)展動態(tài)及其應(yīng)用前景；

5，對于理學(xué)學(xué)士，應(yīng)能熟練使用各種統(tǒng)計(jì)軟件包，有較強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算能力；對于經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)士，應(yīng)具有扎實(shí)的經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)，具有利用信息資料進(jìn)行綜合分析和管理的能力；

6，掌握資料查詢、文獻(xiàn)檢索及運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)獲取相關(guān)信息的基本方法；具有一定的科學(xué)研究和實(shí)際工作能力。

正態(tài)分布三個(gè)常用數(shù)據(jù)計(jì)算概率

由于X與e獨(dú)立，所以E(X|Y)=E(X|X+e)=E(X|X)=X，

Var(X|Y)=Var(X|X+e)=Var(X|X)=E(X^2|X)-(E(X|X))^2=(X^2)-X^2=0 ;

如果只知道Z=X+Y的分布,而沒有其他任何關(guān)于X和Y的先驗(yàn)信息,是無法確定X和Y的分布的，例如：若Z~N(0,d^2)，X和Y都是有無窮多可能的。

設(shè)正態(tài)分布概率密度函數(shù)是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*）

求均值

對（*）式兩邊對u求導(dǎo)：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

約去常數(shù),再兩邊同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆開，再移項(xiàng)：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是

∫x*f(x)dx=u*1=u

這樣就正好湊出了均值的定義式,證明了均值就是u。

(2)方差

過程和求均值是差不多的,我就稍微略寫一點(diǎn)。

對(*)式兩邊對t求導(dǎo)：

∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移項(xiàng)：

∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是

∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

正好湊出了方差的定義式，從而結(jié)論得證。

擴(kuò)展資料：

集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央，即均數(shù)所在的位置。

對稱性：正態(tài)曲線以均數(shù)為中心，左右對稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交。

均勻變動性：正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降。

曲線與橫軸間的面積總等于1，相當(dāng)于概率密度函數(shù)的函數(shù)從正無窮到負(fù)無窮積分的概率為1。即頻率的總和為100%。

參考資料來源：百度百科-正態(tài)分布

正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換公式推導(dǎo)

Z就是正態(tài)分布。

X^2（卡方）分布是一個(gè)正態(tài)分布的平方。

t分布是一個(gè)正態(tài)分布除以（一個(gè)X^2分布除以它的自由度然后開根號）。

F分布是兩個(gè)卡方分布分布除以他們各自的自由度再相除。

比如X是一個(gè)Z分布，Y(n)=X1^2+X2^2+……+Xn^2,這里每個(gè)Xn都是一個(gè)Z分布，t(n)=X/根號(Y/n),F（m,n）=(Y1/m)/(Y2/N)。

各個(gè)分布的應(yīng)用如下：

方差已知情況下求均值是Z檢驗(yàn)。方差未知求均值是t檢驗(yàn)（樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替總體標(biāo)準(zhǔn)差R，由樣本平均數(shù)推斷總體平均數(shù)）兩個(gè)正態(tài)分布樣本的均值方差都未知情況下求兩個(gè)總體的方差比值是F檢驗(yàn)。