什么是特征向量正交化 如何利用特征向量構(gòu)造正交矩陣
特征向量正交化，單位化，是怎么求的？如何運(yùn)算？怎么就正交化，單位化了？為什么特征向量正交化并單位化后仍為原矩陣的特征向量？跪求！謝謝好心人了？實(shí)對稱矩陣特征向量正交化問題，為什么特征向量正交化并單位化后仍為原矩陣的特征向量？
本文導(dǎo)航
兩個向量正交化如何計算
縣進(jìn)行正交化，然后進(jìn)行單位化，參考高等代數(shù)倒數(shù)第二章內(nèi)容
已知特征向量如何單位化
特征向量的正交化是局限在同一特征值的特征向量
因?yàn)樘卣飨蛄渴菍?yīng)齊次線性方程組的解
所以特征向量的非零線性組合仍是特征向量
正交化所得向量與原向量等價
所以仍是特征向量
由此可知單位化后也是特征向量
如何利用特征向量構(gòu)造正交矩陣
對。對于非實(shí)對稱矩陣，其不同特征值對應(yīng)的特征向量可以通過史密斯正交化實(shí)現(xiàn)正交。
已知矩陣和特征根怎么求特征向量
因?yàn)樘卣飨蛄康恼换蔷窒拊谕惶卣髦档奶卣飨蛄?，特征向量是對?yīng)齊次線性方程組的解，所以特征向量的非零線性組合仍是特征向量。正交化所得向量與原向量等價，所以仍是特征向量，由此可知單位化后也是特征向量。
特征向量定理
譜定理在有限維的情況，將所有可對角化的矩陣作了分類：它顯示一個矩陣是可對角化的，當(dāng)且僅當(dāng)它是一個正規(guī)矩陣。注意這包括自共軛（厄爾米特）的情況。這很有用，因?yàn)閷腔仃嘥的函數(shù)f(T)（譬如波萊爾函數(shù)f）的概念是清楚的。
在采用更一般的矩陣的函數(shù)的時候譜定理的作用就更明顯了。例如，若f是解析的，則它的形式冪級數(shù)，若用T取代x，可以看作在矩陣的巴拿赫空間中絕對收斂。譜定理也允許方便地定義正算子的唯一的平方根。
擴(kuò)展資料
特征值和特征向量的應(yīng)用
(1)可以用在研究物理、化學(xué)領(lǐng)域的微分方程、連續(xù)的或離散的動力系統(tǒng)中。例如，在力學(xué)中，慣量的特征向量定義了剛體的主軸。慣量是決定剛體圍繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的關(guān)鍵數(shù)據(jù)；
(2)數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家用來預(yù)測原始森林遭到何種程度的砍伐，會造成貓頭鷹的種群滅亡；
(3)著名的圖像處理中的PCA方法，選取特征值最高的k個特征向量來表示一個矩陣，從而達(dá)到降維分析+特征顯示的方法，還有圖像壓縮的K-L變換。再比如很多人臉識別，數(shù)據(jù)流模式挖掘分析等方面。
(4)在譜系圖論中，一個圖的特征值定義為圖的鄰接矩陣A的特征值，或者（更多的是）圖的拉普拉斯算子矩陣，Google的PageRank算法就是一個例子。
參考資料來源：百度百科-特征向量
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