高考證明勾股定理 高中空間勾股定理怎么證明

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本文導(dǎo)航

• 高中空間勾股定理怎么證明
• 勾股定理判斷直角三角形題型
• 勾股定理一共幾種證明方法
• 勾股定理的最簡單證明方法
• 勾股定理的三種證明方法最簡單
• 勾股定理證明的三種證明方法

高中空間勾股定理怎么證明

勾股定理的證明方法

勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理。這個(gè)定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣，因?yàn)檫@個(gè)定理太貼近人們的生活實(shí)際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明．下面結(jié)合幾種圖形來進(jìn)行證明。

一、傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法（圖1）

左邊的正方形是由1個(gè)邊長為的正方形和1個(gè)邊長為的正方形以及4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個(gè)邊長為的正方形和4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因?yàn)檫@兩個(gè)正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式，化簡得。

在西方，人們認(rèn)為是畢達(dá)哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經(jīng)失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。

二、趙爽弦圖的證法（圖2）

第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為 的直

角三角形圍在外面形成的。因?yàn)檫呴L為的正方形面積加上4個(gè)直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個(gè)直角邊分別為、，斜邊為 的

角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個(gè)邊長為的正方形“小洞”。

因?yàn)檫呴L為的正方形面積等于4個(gè)直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法很簡明，很直觀，它表現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)家趙爽高超的證題思想和對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。

三、美國第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法（圖3）

這個(gè)直角梯形是由2個(gè)直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個(gè)直角邊為

的等腰直角三角形拼成的。因?yàn)?個(gè)直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。

勾股定理判斷直角三角形題型

是1979年，

數(shù)學(xué)的第4題，

敘述并證明勾股定理。

勾股定理一共幾種證明方法

簡單的勾股定理的證明方法如下：

做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形。

發(fā)現(xiàn)四個(gè)直角三角形和一個(gè)邊長為a的正方形和一個(gè)邊長為b的正方形，剛好可以組成邊長為（a+b）的正方形；四個(gè)直角三角形和一個(gè)邊長為c的正方形也剛好湊成邊長為（a+b）的正方形。

所以可以看出以上兩個(gè)大正方形面積相等。 列出式子可得：

拓展資料：

勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個(gè)定理為勾股定理，也有人稱商高定理。

勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國，商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

參考資料：勾股定理_百度百科

勾股定理的最簡單證明方法

加菲爾德證法、加菲爾德證法變式、青朱出入圖證法、歐幾里得證法、畢達(dá)哥拉斯證法、華蘅芳證法、趙爽弦圖證法、百牛定理證法、商高定理證法、商高證法、劉徽證法、縐元智證法、梅文鼎證法、向明達(dá)證法、楊作梅證法、李銳證法

例，如下圖：

設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊。延長此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。

設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。

其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點(diǎn)A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K、L。

分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因?yàn)锳B=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因?yàn)锳與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。

因?yàn)镃、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四邊形BDLK=BAGF=AB2。

同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC2。

把這兩個(gè)結(jié)果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是個(gè)正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。

性質(zhì)：

1、勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端；

2、勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，即它是第一個(gè)把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理；

3、勾股定理導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，大大加深了人們對(duì)數(shù)的理解；

4、勾股定理是歷史上第—個(gè)給出了完全解答的不定方程，它引出了費(fèi)馬大定理；

5、勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，并有巨大的實(shí)用價(jià)值，這條定理不僅在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠，被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。1971年5月15日，尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個(gè)數(shù)學(xué)公式”郵票，這十個(gè)數(shù)學(xué)公式由著名數(shù)學(xué)家選出的，勾股定理是其中之首。

勾股定理的三種證明方法最簡單

1.

【證法1】(課本的證明)做8個(gè)全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形...

2.

【證法2】(鄒元治證明)以a、b為直角邊,以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形,則每個(gè)直角三角1ab2形的面積等于.把這四個(gè)直角三角形拼...

3.

【證法3】(趙爽證明)以a、b為直角邊(b>a),以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形,則每個(gè)直角1ab2三角形的面積等于.把這四個(gè)直角...

4.

【證法4】(1876年美國總統(tǒng)Garfield證明)以a、b為直角邊,以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形,則每個(gè)直角三角1ab形的面積...

勾股定理證明的三種證明方法

勾股定理16種證明方法

勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方,即在以a、b為直角邊，c為斜邊的三角形中有a^2+b^2=c^2。

方法

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證法一（鄒元治證明）：以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的三角形，按下圖所示相拼，使A、E、B三點(diǎn)共線，B、F、C 三點(diǎn)共線，C、G、D三點(diǎn)共線。∵Rt△HAE≌Rt△EBF∴∠AHE=∠BEF∵∠AHE+∠AEH=90°∴∠BEF+∠AEH=90°∵A、E、B共線∴∠HEF=90°，四邊形EFGH為正方形由于上圖中的四個(gè)直角三角形全等，易得四邊形ABCD為正方形∴正方形ABCD的面積=四個(gè)直角三角形的面積+正方形EFGH的面積∴(a+b)^2=4?（1/2）?ab+c^2，整理得a^2+b^2=c^2

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證法二（課本的證明）：如上圖所示兩個(gè)邊長為a+b的正方形面積相等，所以a^2+b^2+4?（1/2）?ab=c^2+4?（1/2）?ab，故a^2+b^2=c^2。

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證法三（趙爽弦圖證明）：以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的三角形，按下圖所示相拼。易得四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形∴正方形ABCD的面積=四個(gè)直角三角形的面積+正方形EFGH的面積∴c^2=4?（1/2）?ab+(b-a)^2 ，整理得a^2+b^2=c^2

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證法四（總統(tǒng)證明）：如下圖所示。易得△CDE為等腰直角三角形∴梯形ABCD的面積=兩個(gè)直角三角形的面積+一個(gè)等腰三角形的面積∴1/2?（a+b）?（a+b）=2?（1/2）?ab+（1/2）?c^2，整理得a^2+b^2=c^2

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證法五（梅文鼎證明）：以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的三角形，按下圖所示相拼，使DEF在同一直線上，過C點(diǎn)作CI垂直于DF,交DF于I點(diǎn)。易得四邊形ABEG、四邊形CBDI、四邊形FGHI都為正方形。∴多邊形EGHCB的面積=正方形ABEG的面積-兩個(gè)直角三角形的面積且多邊形EGHCB的面積=正方形CBDI的面積+正方形FGHI的面積-兩個(gè)直角三角形的面積∴正方形ABEG的面積=正方形CBDI的面積+正方形FGHI的面積∴c2=a2+b2

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證法六（項(xiàng)明達(dá)證明）：以a、b為直角邊，以c為斜邊做兩個(gè)全等的三角形，做一個(gè)邊長為c的正方形，按下圖所示相拼，使E、A、C在同一條直線上。過Q點(diǎn)作QP⊥AC，交AC于P點(diǎn)分別過F、B作QP的垂線段，交點(diǎn)分別為M、N易得四邊形ABQF為正方形利用全等三角形的判定定理角角邊（AAS）可得△AEF≌△QMF≌△BNQ，此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為梅文鼎證明。

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證法七（歐幾里得證明）：在直角邊為a、b，斜邊為c的直角三角形中，分別以a、b、c為邊作正方形，如下圖所示。連接FB和CD，過C點(diǎn)作CN⊥DE交DE于E點(diǎn)，交AB于M點(diǎn)?！逜F=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD，∴△FAB≌△CAD（SAS）而△FAB的面積=△CAD的面積=（?）?ac sin（90°+∠CAB）=（?）a2∵△CAD與矩形AMND等底等高∴矩形AMND的面積為△CAD面積的兩倍，即a2同理可得矩形BMNE的面積為b2∵正方形ADEB的面積=矩形AMND的面積+矩形BMNE的面積∴c2=a2+b2

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證法八（相似三角形性質(zhì)證明）如下圖所示，在直角三角形ABC中，AC=b，BC=a，AB=c,∠ACB=90°，過C點(diǎn)作CD垂直于AB，交AB于D點(diǎn)。∵∠BDC=∠BCA=90°，∠B=∠B∴△BDC∽△BCA∴BD∶BC=BC∶BA∴BC2=BD?BA同理可得AC2=AD?AB∴BC2+AC2=BD?BA+AD?AB=(BD+AD)?AB=AB2,即a2+b2=c2

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證法九（楊作玫證明）：做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩直角邊分別為a、b（b>a）斜邊長為c，再做一個(gè)邊長為c的正方形，按下圖所示相拼。過A點(diǎn)作AG⊥AC，交DF于G點(diǎn)，AG交DE于H點(diǎn)。過B作BI⊥AG，垂足為I點(diǎn)。過E點(diǎn)作EJ與CB的延長線垂直，垂足為J點(diǎn)，EJ交AG于K點(diǎn),交DB于L點(diǎn)?！摺螧AE=90°∠GAC=90°∴∠EAK=∠BAC∵GA⊥AC,BC⊥AC∴GA∥BC∵EJ⊥BC∴EJ⊥GA∴∠EKA=∠C=90°而AE=AB=c∴△EAK≌△BAC（AAS）∴EK=a，KA=b由作法易得四邊形BCAI為矩形∴AI=a,KI=b-a∵△BAC≌△EDF∴△EAK≌△EDF∴∠FED=∠KEA∴∠FEK=90°∴四邊形EFGK為正方形，同時(shí)四邊形DGIB為直角梯形用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為c2=S1+S2+S3+S4+S5 ①∵S8+S3+S4=?[b+(b-a)]?[a+(b-a)]=b2-?ab ，S5=S8+S9∴S3+S4=b2-?ab-S8=b2-S1-S8②把②代入①得c2=S1+S2+b2-S1-S8+S8+S9=b2+S2+S9=b2+a2

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證法十（李銳證明）：設(shè)直角三角形兩直角邊長分別為a、b（b>a）,斜邊長為c。做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，按下圖相拼，使AEG三點(diǎn)共線，過Q點(diǎn)作GM⊥AG,交點(diǎn)為M,用數(shù)字表示面積的編號(hào)?！摺蟃BE=∠ABH=90°∴∠TBH=∠EBA∵∠T=∠BEA=90°，BT=BE=b∴△HBT≌△ABE（ASA）∴HT=AE=a，GH=GT-HT=b-a∵∠GHF+∠BHT=90°，∠TBH+∠BHT=90°∴∠GHF=∠TBH=∠DBC∵BD=BE-ED=b-a，∠G=∠BDC=90°∴△GHF≌△DBC（ASA），S7=S2由∠BAQ=∠BEA=90°,可知∠ABE=∠QAM∵AB=AQ=c∴△ABE≌△QAM（AAS）∴△QAM≌△HBT，S5=S8同時(shí)有AR=AE=QM=a，且∠QFM與∠ACR分別為∠GHF與∠DBC的余角∴∠QFM=∠ACR∵∠R=∠FMQ=90°∴△FMQ≌△CRA（AAS），S4=S6∵c2=S1+S2+S3+S4+S5,a2=S1+S6,b2=S3+S7+S8S7=S2,S8=S5,S4=S6∴a2+b2=S1+S6+S3+S7+S8=S1+S4+S3+S2+S5=c2

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證法十一（利用切割線定理證明）：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=b，AB=c，BC=a，以B為圓心，a為半徑畫圓，AB交圓與D點(diǎn)，AB的延長線交圓于E點(diǎn)。根據(jù)切割線定理（從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是割線和這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)）可得：AC2=AD?AE∴b2=(c-a)(c+a)=c2-a2∴a2+b2=c2

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證法十二（利用多列米定理證明）：在直角三角形ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，斜邊AB=c，過A點(diǎn)作AD∥CB,過B點(diǎn)作BD∥CA,則四邊形ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于唯一的一個(gè)圓。根據(jù)多米列定理（圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和）可得：AB?DC=DB?AC+AD?CB∵AB=DC=c,DB=AC=b，AD=CB=a∴c2=b2+a2

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證法十三（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）：在Rt△ABC中，設(shè)直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c。作Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O，切點(diǎn)分別為D、E、F，如下圖所示，設(shè)圓O的半徑為r?！逜B=AF＋BF,CB=BD＋CD,AC=AE＋CE∴AC+CB-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)=CE+CD=2r,即a+b-c=2r∴a+b=2r+c(a+b)2=(2r+c)2a2+b2+2ab=4(r2+rc)+c2∵S△ABC=?ab∴4S△ABC=2ab∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=?cr+?ar+?br=?(a+b+c)r=?(2r+c+c)r=r2+rc∴4(r2+rc)=2ab∴a2+b2+2ab=2ab+c2∴a2+b2=c2

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證法十四（利用反證法證明）：在Rt△ABC中，設(shè)直角邊BC=a，AC=b，斜邊AB=c。過C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D點(diǎn)，如下圖所示。假設(shè)a2+b2≠c2，即AC2+BC2≠AB2則由AB2=AB·AB=AB·(AD+BD)=AB·AD+AB·BD知AC2≠AB·AD或BC2≠AB·BD即AD∶AC≠AC∶AB或BD∶BC≠BC∶AB在△ADC和△ACB中∵∠A=∠A∴若AD∶AC≠AC∶AB，則∠ADC≠∠ACB在△CBD和△ACB中∵∠B=∠B∴若BD∶BC≠BC∶AB，則∠CDB≠∠ACB∵∠ACB=90°∴∠ADC≠90°，∠CDB≠90°這與CD⊥AB矛盾，所以假設(shè)不成立∴a2+b2=c2

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證法十五（辛卜松證明）：直角三角形以a、b為直角邊，以c為斜邊。作邊長為a+b的正方形。把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為(a+b)2=a2+b2+2ab把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為(a+b)2=4x?ab+c2=2ab+c2∴a2+b2+2ab=2ab+c2∴a2+b2=c2

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證法十六（陳杰證明）：設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c。做兩個(gè)邊長分別為a、b的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點(diǎn)在一條直線上。 用數(shù)字表示面積的編號(hào)，如下圖所示。在EH = b上截取ED = a，連結(jié)DA、DC，則 AD = c∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a∴ DM = EM―ED = (b+a)―a = b又∵ ∠CMD = 90°，CM = a， ∠AED = 90°， AE = b∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC(SAS)∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180°， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90°∴ ∠ADC = 90°∴ 作AB∥DC，CB∥DA，則四邊形ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90°∴ ∠BAF=∠DAE。連結(jié)FB，在ΔABF和ΔADE中∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE∴ ΔABF ≌ ΔADE(SAS)∴ ∠AFB = ∠AED = 90°，BF = DE = a∴ 點(diǎn)B、F、G、H在一條直線上在RtΔABF和RtΔBCG中，∵ AB = BC = c，BF = CG = a，∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG (HL)∵c2=S?+S?+S?+S?， b2=S?+S?+S?， a2=S?+S?，S?=S?=S?=S?+S?，∴a2+b2=S?+S?+S?+S?+S?=S?+S?+S?+(S?+S?)=S?+S?+S?+S? =c2∴ a2+b2=c2

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