三重積分積的是什么 三重積分的解析式是干什么的

三重積分的幾何意義是什么啊？請問三重積分后是什么東西，我覺得不是體積，因?yàn)槎胤e分才是體積 三重積分只有在函數(shù)是1的時候才是體積？三重積分，區(qū)別講明白（比如二重積分求的是什么三重積分求什？求三重積分，三重積分的幾何意義是體積還是面積。

本文導(dǎo)航

• 三重積分存在的條件
• 三重積分的幾何定義
• 三重積分投影法
• 二重積分和二次積分的關(guān)系
• 二重積分與三重積分
• 三重積分的解析式是干什么的

三重積分存在的條件

將二重積分定義中的積分區(qū)域推廣到空間區(qū)域,被積函數(shù)推廣到三元函數(shù),就得到三重積分的定義

F(x)是每一點(diǎn)得點(diǎn)密度函數(shù)的話

那么三重積分就是這個區(qū)域內(nèi)得總質(zhì)量

特別的F(x)=1就是我們平時理解的體積

三重積分的幾何定義

當(dāng)是二重積分時，被積函數(shù)Z=F(x,y)是x、y的函數(shù)，此時積分是體積，比較直觀。

當(dāng)是三重積分時，被積函數(shù)是x,y,z的函數(shù)，是四維空間概念，較抽象，可以表達(dá)很多意思，例如可表示不均勻的物體，密度是x y z的函數(shù)，

此時積分結(jié)果就是物體的質(zhì)量，可以用來計算重心、轉(zhuǎn)動慣量等，而當(dāng)F(x,y,z)=1時則積分結(jié)果表示體積。

三重積分投影法

其實(shí)，三重積分，就是把一重積分和二重積分的擴(kuò)展

三重積分及其計算

一,三重積分的概念

將二重積分定義中的積分區(qū)域推廣到空間區(qū)域,被積函數(shù)推廣到三元函數(shù),就得到三重積分的定義

其中 dv 稱為體積元,其它術(shù)語與二重積分相同

若極限存在,則稱函數(shù)可積

若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù), 則一定可積

由定義可知

三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì)

三重積分的物理背景

以 f ( x, y, z ) 為體密度的空間物體的質(zhì)量

下面我們就借助于三重積分的物理背景來討論其計算方法.

二,在直角坐標(biāo)系中的計算法

如果我們用三族平面 x =常數(shù),y =常數(shù), z =常數(shù)對空間區(qū)域進(jìn)行分割那末每個規(guī)則小區(qū)域都是長方體

其體積為

故在直角坐標(biāo)系下的面積元為

三重積分可寫成

和二重積分類似,三重積分可化成三次積分進(jìn)行計算

具體可分為先單后重和先重后單

①先單后重

——也稱為先一后二,切條法( 先z次y后x )

注意

用完全類似的方法可把三重積分化成其它次序下的三次積分.

化三次積分的步驟

⑴投影,得平面區(qū)域

⑵穿越法定限,穿入點(diǎn)—下限,穿出點(diǎn)—上限

對于二重積分,我們已經(jīng)介紹過化為累次積分的方法

例1 將

化成三次積分

其中 為長方體,各邊界面平行于坐標(biāo)面

解

將 投影到xoy面得D,它是一個矩形

在D內(nèi)任意固定一點(diǎn)(x ,y)作平行于 z 軸的直線

交邊界曲面于兩點(diǎn),其豎坐標(biāo)為 l 和 m (l < m)

o

x

y

z

m

l

a

b

c

d

D

.(x,y)

例2 計算

其中 是三個坐標(biāo)面與平面 x + y + z =1 所圍成的區(qū)域

D

x

y

z

o

解

畫出區(qū)域D

解

除了上面介紹的先單后重法外,利用先重后單法或切片法也可將三重積分化成三次積分

先重后單,就是先求關(guān)于某兩個變量的二重積分再求關(guān)于另一個變量的定積分

若 f(x,y,z) 在 上連續(xù)

介于兩平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 < c2 ) 之間

用任一平行且介于此兩平面的平面去截 得區(qū)域

則

②先重后單

易見,若被積函數(shù)與 x , y 無關(guān),或二重積分容易計算時,用截面法較為方便,

就是截面的面積,如截面為圓,橢圓,三角形,正方形等,面積較易計算

尤其當(dāng) f ( x , y , z ) 與 x , y 無關(guān)時

希望對你有幫助

二重積分和二次積分的關(guān)系

一重積分積的是線上的權(quán)重，如果用圖形表示出來就是圖形面積。

二重積分積的是面上的權(quán)重，如果在面上面畫出權(quán)重，相當(dāng)于一個圖形的體積。

三重積分積的是一個三維圖形的權(quán)重，如果在三維圖形中積了每個點(diǎn)的權(quán)重，相當(dāng)于是計算了這個圖形的質(zhì)量。

二重積分與三重積分

一重積分積的是線上的權(quán)重，如果用圖形表示出來就是圖形面積。二重積分積的是面上的權(quán)重，如果在面上面畫出權(quán)重，相當(dāng)于一個圖形的體積。三重積分積的是一個三維圖形的權(quán)重，如果在三維圖形中積了每個點(diǎn)的權(quán)重，相當(dāng)于是計算了這個圖形的質(zhì)量。

三重積分的解析式是干什么的

三重積分是立體的質(zhì)量。

設(shè)Ω為空間有界閉區(qū)域，f（x，y，z）在Ω上連續(xù)：

1、如果Ω關(guān)于xOy（或xOz或yOz）對稱，且f（x，y，z）關(guān)于z（或y或x）為奇函數(shù)。

2、如果Ω關(guān)于xOy（或xOz或yOz）對稱，Ω1為Ω在相應(yīng)的坐標(biāo)面某一側(cè)部分，且f（x，y，z）關(guān)于z（或y或x）為偶函數(shù)。

3、如果Ω與Ω’設(shè)Ω為空間有界閉區(qū)域，f（x，y，z）在Ω上連續(xù)。

設(shè)三元函數(shù)z=f(x,y,z）定義在有界閉區(qū)域Ω上將區(qū)域Ω任意分成n個子域Δvi(i=123…，n）并以Δvi表示第i個子域的體積。

擴(kuò)展資料：

三重積分計算方法：適用于被積區(qū)域Ω不含圓形的區(qū)域，且要注意積分表達(dá)式的轉(zhuǎn)換和積分上下限。

一、先一后二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。

1、區(qū)域條件：對積分區(qū)域Ω無限制；

2、函數(shù)條件：對f（x,y,z）無限制。

二、先二后一法（截面法）：先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。

1、區(qū)域條件：積分區(qū)域Ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成

2、函數(shù)條件：f（x，y）僅為一個變量的函數(shù)。

參考資料來源：百度百科-三重積分