日語混合運算怎么說 有理數(shù)是什么意思？例如哪些數(shù)是有理數(shù)？

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本文導(dǎo)航

• 有理數(shù)運算
• 有理數(shù)加減混合運算
• 有理數(shù)是什么意思？例如哪些數(shù)是有理數(shù)？
• 四則混合運算的正確讀法 搞不清楚四則混合運算到底怎樣讀才科學(xué)?能不能舉例說明呢?

有理數(shù)運算

有理數(shù)（rational number)：

無限不循環(huán)小數(shù)和開根開不盡的數(shù)叫無理數(shù)

整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

包括整數(shù)和通常所說的分數(shù)，此分數(shù)亦可表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。

這一定義在數(shù)的十進制和其他進位制（如二進制）下都適用。

數(shù)學(xué)上，有理數(shù)是一個整數(shù) a 和一個非零整數(shù) b 的比(ratio)，通常寫作 a/b，故又稱作分數(shù)。希臘文稱為 λογο? ，原意為“成比例的數(shù)”(rational number)，但中文翻譯不恰當(dāng)，逐漸變成“有道理的數(shù)”。不是有理數(shù)的實數(shù)遂稱為無理數(shù)。

所有有理數(shù)的集合表示為 Q，有理數(shù)的小數(shù)部分有限或為循環(huán)。

有理數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)

整數(shù)又分為正整數(shù)、負整數(shù)和0

分數(shù)又分為正分數(shù)、負分數(shù)

正整數(shù)和0又被稱為自然數(shù)

如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理數(shù)。

有理數(shù)還可以劃分為正有理數(shù)、負有理數(shù)和0。

全體有理數(shù)構(gòu)成一個集合，即有理數(shù)集，用粗體字母Q表示，較現(xiàn)代的一些數(shù)學(xué)書則用空心字母Q表示。

有理數(shù)集是實數(shù)集的子集。相關(guān)的內(nèi)容見數(shù)系的擴張。

有理數(shù)集是一個域，即在其中可進行四則運算（0作除數(shù)除外），而且對于這些運算，以下的運算律成立（a、b、c等都表示任意的有理數(shù)）：

①加法的交換律 a+b=b+a；

②加法的結(jié)合律 a+(b+c)=(a+b)+c；

③存在數(shù)0，使 0+a=a+0=a；

④對任意有理數(shù)a，存在一個加法逆元，記作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；

⑤乘法的交換律 ab=ba；

⑥乘法的結(jié)合律 a(bc)=(ab)c；

⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；

⑧存在乘法的單位元1≠0，使得對任意有理數(shù)a，1a=a1=a；

⑨對于不為0的有理數(shù)a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。

⑩0a＝0

此外，有理數(shù)是一個序域，即在其上存在一個次序關(guān)系≤。

有理數(shù)還是一個阿基米德域，即對有理數(shù)a和b，a≥0，b>0，必可找到一個自然數(shù)n，使nb>a。由此不難推知，不存在最大的有理數(shù)。

值得一提的是有理數(shù)的名稱。“有理數(shù)”這一名稱不免叫人費解，有理數(shù)并不比別的數(shù)更“有道理”。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數(shù)一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學(xué)著作，依據(jù)日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數(shù)”。但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這里的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數(shù)的“比”。與之相對，“無理數(shù)”就是不能精確表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，而并非沒有道理。

有理數(shù)加減混合運算

1.理數(shù)加減統(tǒng)一成加法的意義：

對于加減混合運算中的減法，我們可以根據(jù)有理數(shù)減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，這樣就可將混合運算統(tǒng)一為加法運算，統(tǒng)一后的式子是幾個正數(shù)或負數(shù)的和的形式，我們把這樣的式子叫做代數(shù)和。

2.有理數(shù)加減混合運算的方法和步驟：

（1）運用減法法則將有理數(shù)混合運算中的減法轉(zhuǎn)化為加法。

（2）運用加法法則，加法交換律，加法結(jié)合律簡便運算。

有理數(shù)范圍內(nèi)已有的絕對值，相反數(shù)等概念，在實數(shù)范圍內(nèi)有同樣的意義。

一般情況下，有理數(shù)是這樣分類的：

整數(shù)、分數(shù)；正數(shù)、負數(shù)和零；負有理數(shù)，非負有理數(shù)

有理數(shù)加減混合運算

有理數(shù)的意義

【教學(xué)結(jié)構(gòu)】

1.正數(shù)和負數(shù)

我們知道，數(shù)學(xué)中已經(jīng)認識的數(shù)都是從社會實踐活動中抽象出來的。在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的正整數(shù)，正分數(shù)和零都是表示某種量的多少。正數(shù)和負數(shù)的引入，是因為在實際生活中存在大量具有相反意義的量，它用小學(xué)學(xué)過的數(shù)，不能明確表示其相反的情況。例如某天的某一時刻，在A城是零上10℃，在B城則是零下10℃，僅用度數(shù)“10”就不能把兩地的溫度區(qū)別描述出來。又如甲向北走5公里，乙向南走5公里，這個距離“5”也不能把甲、乙兩人走的方向描述出來。我們把“零上x度與零下x度”，“向北5公里和向南5公里”等稱之為具有相反意義的量。若把其中某個意義的量規(guī)定為正量，則與它意義相反的另一個量就規(guī)定為負量。如“零上10℃”規(guī)定為正10℃，則零下10℃就為負10℃。把正量和負量的單位去掉，就得到正數(shù)和負數(shù)的概念。像5、1.5、10 、9840等大于0的數(shù)叫做正數(shù)。在正數(shù)前面加上“－”（讀作負）號的數(shù)，如－5、－1.5、－10 、 －9840等叫做負數(shù)。其中，正數(shù)前面的“+”號可以忽略不寫。

在有關(guān)具有相反意義的量的問題中，是否有“既不向上，也不向下”，“既不向北，也不向南”的情況呢？答案是肯定的?！罢牧俊焙汀柏摰牧俊钡姆纸琰c，是既不正也不負的，這點應(yīng)該用小學(xué)學(xué)過的“零”來表示。所以零既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。而是正數(shù)、負數(shù)的分界，是唯一的一個真正的中性數(shù)。過去，零表示“沒有”，在學(xué)習(xí)了具有相反意義的量以后，我們知道它還有豐富的實踐意義。如0℃，不是表示沒有溫度，而是表示冰點這樣一個固定的溫度。

雖然生活中存在大量具有相反意義的量，但不是所有的量都能找到具有相反意義的量。如“馬路寬2米”就不具有相反意義的量。

要注意小學(xué)時“+”、“－”號只是加、減運算符號。有了正、負數(shù)后，“+”、“－”號也是數(shù)的性質(zhì)符號。

我們把小學(xué)學(xué)過的正整數(shù)和正分數(shù)統(tǒng)稱正有理數(shù)。在正整數(shù)前面放上負號，便得到負整數(shù)，在正分數(shù)前面加上負號，便得到負分數(shù)。負整數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱負有理數(shù)。正有理數(shù)、零和負有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。其中，正數(shù)和0也叫做非負數(shù)。

正整數(shù)（自然數(shù)）

正有理數(shù) 正分數(shù)

有理數(shù) 零

負有理數(shù) 負整數(shù)

負分數(shù)

有理數(shù)還可以做如下的分類：

正整數(shù)（自然數(shù)）

整數(shù) 零

有理數(shù) 負整數(shù)

分數(shù) 正分數(shù)

負分數(shù)

即“整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)”。要注意，有時為了研究的需要，整數(shù)也可以看作是分母為1的分數(shù)，這時分數(shù)包括整數(shù)。本章中的分數(shù)是指不包括整數(shù)的分數(shù)。

還要注意小數(shù)和分數(shù)的關(guān)系：分數(shù)都可以化成小數(shù)（有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)）；小數(shù)中的有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以化成分數(shù)，都是有理數(shù)。無限不循環(huán)小數(shù)化不成分數(shù)，不是有理數(shù)，如π等。

2.數(shù)軸

在生活中，我們常常遇到標(biāo)有數(shù)碼的量器，如刻度尺、溫度計、稱桿等。把數(shù)標(biāo)在這樣的一條直的物品上，會給我們的研究帶來很大的方便。

為了在一條直線上標(biāo)記有理數(shù)，先確定正、負數(shù)的分界點 零的位置，叫做原點。然后規(guī)定出正方向和單位。這樣就得到了一條能標(biāo)記有理數(shù)的直線。

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。如

－2 －1 0 1 2 （A） 1 0 －1 （B）

1

0 （C）

－1

都是數(shù)軸。但習(xí)慣上，一般畫圖形（A），畫一條水平放置的直線，規(guī)定從左到右的方向為正方向。（從原點向右為正方向，從原點向左為負方向）即原點右邊的數(shù)表示正數(shù)，原點左邊的數(shù)表示負數(shù)，原點表示零。一定要記住原點、正方向和單位長度是數(shù)軸的三個要素，三者缺一不可。

數(shù)軸的引進把數(shù)與圖形上的點聯(lián)系起來，所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，這是數(shù)與形的結(jié)合，數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重要方法。

3.相反數(shù)

象2和－2在數(shù)軸上到原點的距離相等。只有符號不同，我們稱作這兩個數(shù)互為相反數(shù)。

只有符號不同的兩個數(shù)，我們說其中一個是另一個的相反數(shù)。0的相反數(shù)是0。

通過對相反數(shù)在數(shù)軸上的位置的觀察，我們發(fā)現(xiàn)每一組相反數(shù)都分別在原點的兩邊，到原點的距離相等，只有符號不同。從而得到相反數(shù)的幾何意義：

在數(shù)軸上的原點兩旁，離開原點距離相等的兩個點所表示的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。0的相反數(shù)是零。

一般地，數(shù)a的相反數(shù)是－a，這里a表示任意的一個數(shù)，可以是正數(shù)、負數(shù)或0。例如當(dāng)a=+7時，－a=－7，因為7的相反數(shù)是－7。當(dāng)a=－5時，－a=－（－5）=5，因為－5的相反數(shù)是5。當(dāng)a=0時，－a=－0=0，因為0的相反數(shù)是0。

4.絕對值

從數(shù)軸上看（即絕對值的幾何意義），一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離。數(shù)a的絕對值記作|a|。

由上面絕對值的幾何意義很容易知道，|2|=2，|－2|=2，|0|=0。用文字語言敘述就是：

一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。

我們把上述關(guān)系用式子表示，即

a (a>0 ) a (a≥0 ) a (a>0 )

|a|= 0 (a=0 ) 或|a|= 或|a|=

－a (a<0 ) －a (a<0 ) －a (a≤0 )

從上面不同的三個角度來研究絕對值，我們發(fā)現(xiàn)有理數(shù)的絕對值不能是負數(shù)，只能是正數(shù)或0，即絕對值是一個非負數(shù)。

5.有理數(shù)大小的比較

由正有理數(shù)的大小排列我們可以知道“在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，于是規(guī)定“數(shù)軸上右邊的點所表示的數(shù)大于左邊的點所表示的數(shù)?！?

根據(jù)這個規(guī)定，可以知道：正數(shù)都大于0；負數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負數(shù)。

對于兩個正數(shù)的大小，小學(xué)時我們已經(jīng)知道。關(guān)于兩個負數(shù)的比較大小，我們雖然已經(jīng)可以根據(jù)它們在數(shù)軸上的位置確定，但是我們希望把它們轉(zhuǎn)化為正數(shù)來進行比較，這樣會使計算簡便。如|－3|=3，|－2|=2，因為3>2，所以|－3|>|－2|而由數(shù)軸可知－3<－2，即“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小”。

【解題點要】

例(1) 如果水庫的水位上升5cm，記作+5cm，那么水位下降3cm，記作什么？上升 －2cm表示什么？

分析：因為水位上升和下降是具有相反意義的量，已知上升5cm記作+5cm，那么水位下降3cm應(yīng)記作－3cm。上升－2cm表示水位下降2cm。

解：水位下降了3cm記作－3cm。上升－2cm表示水位下降2cm。

例(2) 判斷正誤（正確的用“√”在括號內(nèi)表示，不正確的用“×”在括號內(nèi)表示）

1. 向前走10m與向右走10m是相反意義的量。

2.支出8元與收入100元是相反意義的量。

3.向東走15km與向西走1km是相反意義的量。

4.提高某種物品的售價25元與下降20m是相反意義的量。

分析：第1題中向前走10m與向右走10m雖然是同一種量，但向前與向右不能算是具有相反意義的量。第2、3兩題中支出與收入，向東和向西都是具有相反意義的量，并且是同一種量。第4題中提高與下降雖然意義相反，但不是同一種量，它們不能算是具有相反意義的量。

解：1.×； 2.√； 3.√； 4.×

提問：相反意義的量具備什么特征？

相反意義的量必須具備兩個特征：①意義相反；②是同一種量

例(3)用正數(shù)和負數(shù)來表示下面各組具有相反意義的量，并指出它們的分界點。

1.高于海平面400米與低于海平面256米。

2.北緯44度與南緯33度。

分析：一般情況下我們用正數(shù)表示高于海平面的高度，用負數(shù)表示低于海平面的高度。雖然我們也可以把低于海平面的高度用正數(shù)來表示。

解：1.用正數(shù)來表示高于海平面的高度，那么高于海平面400米就表示為+400米或400米，而低于海平面256米就表示為－256米。海平面是它們的分界點，用0米表示。

2.用正數(shù)表示北緯的度數(shù)，那么北緯44度就表示為+44度或44度，南緯33度表示為－33度。赤道是它們的分界點，用0度緯線來表示。

例(4) 把下列各數(shù)填到相應(yīng)的大括號內(nèi)：+6，0.003，1， ，43，0，（2.3，－2，－5.01，－25， ，－0.21

正整數(shù)集合： …

負整數(shù)集合： …

正分數(shù)集合： …

負分數(shù)集合： …

正數(shù)集合： …

整數(shù)集合： …

分析：0.003和12.3是有限小數(shù)，都可以化成分數(shù)，應(yīng)填到正分數(shù)集合。－0.21是無限循環(huán)小數(shù)也可以化成分數(shù)，應(yīng)屬于負分數(shù)集合。0是整數(shù)，因為整數(shù)是正整數(shù)、0、負整數(shù)的統(tǒng)稱。在考慮整數(shù)集合時，不要忽略掉“0”。另外要明確0既不是正數(shù)也不是負數(shù)。

解：正整數(shù)集合：+6，1，43， …

負整數(shù)集合：－2，－25， …

正分數(shù)集合：0.003， …

負分數(shù)集合：－ ，－5.01，－0.21，…

正數(shù)集合： +6，0.003，1， ，43，12.3， ，…

整數(shù)集合： +6，1，43，0，－2，－25，…

提問：－（－3）是負數(shù)嗎？為什么？

－（－3）是正數(shù)。因為－3表示負數(shù)，它的前面再加上一個“－”號，表示與－3意義相反的量，而負數(shù)與正數(shù)具有相反意義的量，所以－（－3）表示正數(shù)3。

例(5) 請你畫一條數(shù)軸，并用A、B、C、D各點分別表示2、－1、 、－1 各數(shù)。

分析：畫數(shù)軸一定要有原點、正方向和單位長度這三個要素。在數(shù)軸上表示的數(shù)要用實心點（黑的圓點）標(biāo)出，然后再注上字母。

解： D B A C

－3 －2 －1 0 1 2 3

提問：任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，數(shù)軸上的點表示的都是有理數(shù)嗎？

不是。因為數(shù)軸上的點除了表示有理數(shù)的點之外，還有表示無理數(shù)的點，這到初中二年級才會學(xué)到。

例(6) 選擇正確的答案（各題的四個答案中只有一個是正確的）

1.在有理數(shù)中，絕對值等于其本身的數(shù)有（ ）

(A)正數(shù) (B)0 (C)非負數(shù) (D)負數(shù)

2.－a不是負數(shù)，那么a一定是（ ）

(A)負數(shù) (B)正數(shù)或0 (C)正數(shù) (D)負數(shù)或0

3.下列各對數(shù)中相等的數(shù)是（ ）

(A) －(+7.5)和－(－7.5)

(B)+

(C)－（1.2）和+（+1.2）

(D)－（－100）和－100

4.下列式子中，正確的是（ ）

(A)－31.123>－31.12

(B) >－0.33

(C)

(D)

分析：1.由于正數(shù)和0的絕對值都是它本身，而正數(shù)和0統(tǒng)稱非負數(shù)，所以選（C）。

2.因為－a不是負數(shù)，－a≥0，即－a是正數(shù)或0，則a是負數(shù)或0。

3.因為－(－1.2）=1.2，+(+1.2)=1.2，所以－(－1.2）=+(+1.2)

4.因為－ ，|－ |=|－ |= ，－0.33=－ ，

|－ |= ，

解：1.C； 2.D； 3.C； 4.B

例(7) 如圖所示， b 0 a a和b是兩個有理數(shù)，求|a+b|+|a|的值。

分析：由圖可知，a>0，b<0且|b|>|a|，所以a+b<0，|a+b|=－(a+b)=－a－b，|a|=a，所以|a+b|+|a|=－(a+b)+a=－b

解：|a+b|+|a|=－(a+b)+a=－a－b+a=－b

【課余思考】

1. 0是偶數(shù)嗎？－12是自然數(shù)嗎？

2.0是自然數(shù)嗎？是正數(shù)嗎？是負數(shù)嗎？是整數(shù)嗎？是有理數(shù)嗎？

3.自然數(shù)一定是正數(shù)嗎？一定是整數(shù)嗎？

4.整數(shù)一定是正數(shù)嗎？一定是自然數(shù)嗎？一定是有理數(shù)嗎？

5.正整數(shù)中有沒有最小的數(shù)？有沒有最大的數(shù)？

6.數(shù)軸上是否有兩個不同的點表示同一個有理數(shù)？是否有一個點表示兩個不同的有理數(shù)？

7.數(shù)軸上無論怎樣靠近的兩個有理點之間還存在表示有理數(shù)的點嗎？

8.π是一個有理數(shù)嗎？為什么？

9.x的相反數(shù)是5，那么x是多少？－8的相反數(shù)是y，那么y是多少？相反數(shù)是它本身的數(shù)有幾個，它們是多少？

10.什么數(shù)的絕對值和它的相反數(shù)相等？

11.什么數(shù)的絕對值比它本身大？

12.什么數(shù)的絕對值比它本身?。?

13.什么數(shù)的相反數(shù)比它本身大？

14.什么數(shù)的相反數(shù)比它本身??？

15.什么數(shù)的絕對值比它的相反數(shù)大？

【同步練習(xí)】

1.用正數(shù)和負數(shù)來表示下面各組中具有相反意義的量。

(1)入庫3噸與出庫5噸。

(2)盈余50萬元與虧損300萬元。

(3)向東走10km和向西走1km。

(4)收入1000元與支出1000元。

(5)減產(chǎn)12噸水泥與增產(chǎn)21噸水泥。

2.回答問題

(1)正數(shù)中有沒有最小的數(shù)？有沒有最大的數(shù)？負數(shù)中呢？有理數(shù)中呢？

(2)有沒有這樣的有理數(shù)，它既是正數(shù)又是負數(shù)？

(3)有沒有這樣的有理數(shù)，它既不是正數(shù)又不是負數(shù)？

(4)水位上升5cm，后又上升－3cm，水位共升高多少cm？

(5)0是最小的有理數(shù)嗎？

3.判斷正誤：

(1)分數(shù)是有理數(shù)。 （ ）

(2)大于負數(shù)的數(shù)是正數(shù)。 （ ）

(3)有理數(shù)中不是正數(shù)就是負數(shù)。 （ ）

(4)既沒有最小的整數(shù)？也沒有最大的整數(shù)。 （ ）

(5)數(shù)軸上原點及原點右邊的點表示的是非負數(shù)。（ ）

4.填空

(1)“足球比賽 12場與負5場”是具有相反意義的最。

(2)如果規(guī)定向北走為正，那么+10與－15m的含義是 和 ，一共走了

m。

(3)若一港口在海拔5m，而港口的水域底部是海拔－50m，則它們之間相差 m。

(4)在下面有理數(shù)：－21，－3.11， ，+2，－1 ，0，3.3，－0.732，1中

正數(shù)有 ；

負數(shù)有 ；

整數(shù)有 ；

非負整數(shù)有 。

(5)在數(shù)軸上距離原點6個單位長度的數(shù)是 。

(6)用不等號把 連接起來是 。

(7)如果在數(shù)軸上表示－2的點是A，那么這數(shù)軸上到A的距離是3的點所表示的數(shù)是

。

(8)

－4－3－2－1 0 1 2 3 4 5 如圖，數(shù)軸上A點表示 ；它到原點的距離是 ；數(shù)軸上到原點距離與點A到原點距離相同的點是 。

(9)任何一個 的相反數(shù)是正數(shù)，任何一個 的相反數(shù)是負數(shù)。

(10)+2的相反數(shù)是 ； 的相反數(shù)是－ ；一個數(shù)的相反數(shù)的相反數(shù)是

。

(11)任何一個有理數(shù)的絕對值都不是 。

(12)一個數(shù)的絕對值和相反數(shù)是它本身，這個數(shù)是 。

(13)絕對值是 的數(shù)有 個，是 。

(14)絕對值小于3.2的整數(shù)有 。

(15)－2 的相反數(shù)是 ，倒數(shù)是 ，絕對值是 。

(16)使|x－2|=5成立的x的值是 。

(17)設(shè)a、b為有理數(shù)，且|a+3|+(b－1)2=0，則a+b= 。

(18)所有絕對值小于5的自然數(shù)的積等于 。

(19)比較大?。海瓅－1.7| －(－1.7)； －|－2 | －2.8。

(20)若a、b互為相反數(shù)，m、n互為倒數(shù)，且a、b不為0，則5(a+b)－

。

【單元點評】

1.【單元測試題】

(一)填空

1.有理數(shù)包括 和 。

2.既不是正數(shù)又不是負數(shù)的數(shù)是 。

3.改寫下列各句，使它不含負數(shù)：潮水退了－0.3m是 ；汽車向東行駛－20km是 。

4.化簡－（－27）= ；－（+ ）= 。

5.若甲數(shù)減去乙數(shù)所得的差是負值，則在數(shù)軸上表示甲數(shù)的點在表示乙數(shù)的點的 邊。

6.|－8|是數(shù)軸上表示－8的點與 點的距離。

7.兩個互為相反數(shù)的絕對值 。

8.最小的正整數(shù)是 ；最大的負整數(shù)是 。

9.請寫出所有大于－4的負整數(shù) 。

10.若ab=1，則這兩個數(shù)的關(guān)系是 。

11.如果t<0，那么－|t|= 。

12.用“>”、“=”、“<”號填空：－100 0.001；－2 －2。

13.將－6、2、0、－9、－3、－ ，從小到大用“<”連接起來

。

14.計算|+2|+|－98|－|66|= 。

15.若a的倒數(shù)為－5，則a的相反數(shù)是 。

(二)在所給的數(shù)軸上，畫出下列各點2、－4－1.5、5 、0。

－4－3－2－1 0 1 2 3 4 5 6

(三)選擇題（各題的四個答案中，只有一個是正確的）

1.若m、n互為相反數(shù)，且m≠0，那么一定成立的是（ ）

(A) >0 (B) =1 (C) =－1 (D) =0

2.如果|a|=－a，那么a一定是（ ）

(A)負數(shù) (B)非正數(shù) (C)正數(shù)或負數(shù) (D)任何有理數(shù)

(四)比較下列各組數(shù)的大小。

1.－ 和－ 2.－0.65和－

2.點評：

(四)題的第1小題兩個負分數(shù)比大小，分母不同要先化成同分母，過程如下：

解：∵|－ |= = ， |－ |= =

∴－ >－ 。

(四)題的第2小題一個負分數(shù)和一個負小數(shù)，要化成同分母的兩個負分數(shù)來進行比較。

【答案】

【課余思考】

1.是；不是。

2.不是；不是；不是；是；是。

3.是；是。

4.不一定；不一定；一定。

5.有；沒有。

6.沒有；沒有。

7.存在。

8.不是。π是一個無限不循環(huán)小數(shù)，化不成分數(shù)，而整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。

9.x=－5；y=8；有一個，是0。

10.負數(shù)和0。

11.負數(shù)。 12.沒有。 13.負數(shù)。 14.正數(shù)。 15.正數(shù)。

【同步練習(xí)】

1.(1)入庫3噸記作+3噸，出庫50噸記作－50噸。

(2)盈余50萬元記作+50萬元，虧損300萬元記作－300萬元。

(3)向東走10km記作+10km，向西走1km記作－1km。

(4)收入1000元記作+1000元，支出1000元記作－1000元。

(5)減產(chǎn)12噸水泥記作－12噸，增產(chǎn)21噸記作+21噸。

2.(1)沒有；沒有；沒有；沒有。(2)沒有。(3)有。(4)2cm。(5)不是。

3.(1)√； (2)×； (3)×； (4)√； (5)√。

4.(1)勝； (2)向北走10m；向南走15m；25m。 (3)55m。

(4) ，+2，3.3，1；負數(shù)有－21，－3.11，－1 ，－0.732；整數(shù)有－21，+2，0，1；非負整數(shù)有+2，0，1。 (5)6和－6

(6)－ <－ <－ 。 (7)－5和1。 (8)3；3個單位；－3。 (9)負數(shù)；正數(shù)。 (10)－2； ；它本身。 (11)負數(shù)。 (12)0。 (13)兩個，± 。 (14)－3、－2、－1、0、1、2、3。 (15)2 ；－ ；2 。 (16)7和－3。 (17)－2。 (18)24 (19)<；<。 (20)2。

【單元測試題】

一、1.整數(shù)和分數(shù)。 2. 0。 3. 潮水漲了0.3m；汽車向西行駛20km。

4. 27；－ 。 5.t2。 6.原點。 7.相等。 8.1；－1。

9.－3、－2、－1。 10.互為倒數(shù)。 11.t。 12.<；<。

13.－9<－6<－3<0< <2。 14.34； 15. 。

二、

－4－3－2－1 0 1 2 3 4 5 6

三、1.C。2.B。

四、1.－ 。 2.－0.65>－ 。

回答者：cicadae2 - 見習(xí)魔法師 二級 9-3 19:50

有理數(shù)

有理數(shù)（rational number)：能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)．

如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理數(shù)．

整數(shù)和通常所說的分數(shù)都是有理數(shù)．有理數(shù)還可以劃分為正有理數(shù)，0和負有理數(shù)．

在數(shù)的十進制小數(shù)表示系統(tǒng)中，有理數(shù)就是可表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的數(shù)．這一定義在其他進位制下（如二進制）也適用．

全體有理數(shù)構(gòu)成一個集合，即有理數(shù)集，用粗體字母Q表示，較現(xiàn)代的一些數(shù)學(xué)書則用空心字母Q表示．

有理數(shù)集是實數(shù)集的子集．相關(guān)的內(nèi)容見數(shù)系的擴張．

有理數(shù)集是一個域，即在其中可進行四則運算（0作除數(shù)除外），而且對于這些運算，以下的運算律成立（a,b,c等都表示任意的有理數(shù)）

：

①加法的交換律 a+b=b+a；

②加法的結(jié)合律 a+(b+c)=(a+b)+c；

③存在數(shù)0，使 0+a=a+0=a；

④對任意有理數(shù)a，存在一個加法逆元，記作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；

⑤乘法的交換律 ab=ba；

⑥乘法的結(jié)合律 a(bc)=(ab)c；

⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；

⑧存在乘法的單位元1≠0，使得對任意有理數(shù)a，1a=a1=a；

⑨對于不為0的有理數(shù)a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1．

此外，有理數(shù)是一個序域，即在其上存在一個次序關(guān)系≤．

有理數(shù)還是一個阿基米德域，即對有理數(shù)a和b，a≥0，b>0，必可找到一個自然數(shù)n，使nb>a．由此不難推知，不存在最大的有理數(shù)．

值得一提的是有理數(shù)的名稱．“有理數(shù)”這一名稱不免叫人費解，有理數(shù)并不比別的數(shù)更“有道理”．事實上，這似乎是一個翻譯上的失

誤．有理數(shù)一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”．中國在近代翻譯西方科學(xué)著作，依據(jù)日語

中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數(shù)”．但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這里的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）．所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數(shù)的“比”．與之相對，“無理數(shù)”就是不能精確表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，而并非沒有道理．

有理數(shù)是什么意思？例如哪些數(shù)是有理數(shù)？

有理數(shù)是整數(shù)和分數(shù)的統(tǒng)稱，有理數(shù)是一個整數(shù)a和一個正整數(shù)b的比，例如：5，33，81/100，1/9，-5等等。

比較兩個有理數(shù)大小的方法有：

1、根據(jù)有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置直接比較；

2、根據(jù)規(guī)定進行比較：兩個正數(shù)；正數(shù)與零；負數(shù)與零；正數(shù)與負數(shù)；兩個負數(shù)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想；

3、做差法：a-b>0 ?a>b；

4、商法：a/b>1，b>0 ?a>b；

5、利用絕對值比較大小

兩個正數(shù)比較：絕對值大的那個數(shù)大；

兩個負數(shù)比較：先算出它們的絕對值，絕對值大的反而小。

擴展資料

有理數(shù)基本運算法則

一、有理數(shù)加法運算

同號兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號，并把絕對值相加。

異號兩數(shù)相加，若絕對值相等或者相反數(shù)和為0；若絕對值不相等，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

互為相反數(shù)的兩數(shù)相加的0。一個數(shù)同0相加仍得這個數(shù)。互為相反數(shù)的兩個數(shù)，可以先相加。符號相同的數(shù)可以先相加。分母相同的數(shù)可以先相加。幾個數(shù)相加能得整數(shù)的可以先相加

二、有理數(shù)減法運算

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，即把有理數(shù)的減法利用數(shù)的相反數(shù)變成加法進行運算。

三、有理數(shù)乘法運算

同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數(shù)與零相乘，都得零。

幾個不等于零的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負，當(dāng)負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正。

幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為零，積就為零。幾個不等于零的數(shù)相乘，首先確實積的符號，然后后把絕對值相乘。

四、有理數(shù)除法運算

除以一個不等于零的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。零除以任意一個不等于零的數(shù)，都得零。

零不能做除數(shù)和分母。有理數(shù)的除法與乘法是互逆運算。

在做除法運算時，根據(jù)同號得正，異號得負的法則先確定符號，再把絕對值相除。若在算式中帶有帶分數(shù)，一般先化成假分數(shù)進行計算。若不能整除，則除法運算都轉(zhuǎn)化為乘法運算。

五、有理數(shù)乘方運算

1、負數(shù)的奇數(shù)次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)。例如：（-2）的3次方= -8。

2、正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，零的任何正數(shù)次冪都是零。例如：2的2次方=4。

3、零的零次冪無意義。

4、由于乘方是乘法的特例，因此有理數(shù)的乘方運算可以用有理數(shù)的乘法運算完成。

5、1的任何次冪都是1，-1的偶次冪是1，奇次冪是-1。

參考資料來源：百度百科-有理數(shù)

四則混合運算的正確讀法 搞不清楚四則混合運算到底怎樣讀才科學(xué)?能不能舉例說明呢?

加、減、乘、除.還有括號、這些要按情況讀