輪換對稱是什么意思 輪換對稱性與普通對稱性的區(qū)別

什么叫“輪換對稱性”？輪換對稱定義，對稱式和輪換式有什么區(qū)別？

本文導航

• 什么叫“輪換對稱性”？
• 對稱的形式包括哪幾種
• 輪換對稱性與普通對稱性的區(qū)別

什么叫“輪換對稱性”？

坐標的輪換對稱性，簡單的說就是將坐標軸重新命名，如果積分區(qū)間的函數(shù)表達不變，則被積函數(shù)中的x,y,z也同樣作變化后，積分值保持不變。

一般指字母，交替輪換的出現(xiàn)，如xy,yz,zx就屬于輪換對稱的一個例子。

對稱的形式包括哪幾種

將A,B,C換位置（把a換成b，把b換c，把c換成a）之后多項式保持不變,這樣的式子叫輪換對稱式。

輪換對稱性與普通對稱性的區(qū)別

首先要說明的時，輪換式完整的叫法是輪換對稱式。因為幾何上對稱除了軸對稱之外，還有中心對稱、旋轉(zhuǎn)對稱等，相應地，在代數(shù)里對稱也有較多的對稱。這與我們?nèi)粘ＵZ言中的概念是有區(qū)別的。

下面指出輪換式和對稱式的區(qū)別：對稱式交換任意兩個變量的值，結(jié)果不變，如x+y+z；

輪換對稱式一定要輪換，例如x->y,y->z,z->x才能使結(jié)果不變，如(x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y，光換兩個不行。

第二個問題是分解因式的應用，現(xiàn)舉實例如下：

①(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5

②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3

③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz

(1)

分析:

將原式看成X的多項式,可知

當X=－Y時,

原式=(－Y＋Y＋Z)^5－(－Y)^5－Y^5－Z^5

=0

所以原式有因式(X＋Y),因為是對稱式，所以原式還有因式(Y＋Z),(Z＋X)

設原式=(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)[K(X^2＋Y^2＋Z^2)＋T(XY＋YZ＋ZX)]

令X=1,Y=1,Z=0,代入得

30=2(2K＋T);

令X=1,Y=－1,Z=0,代入得－30=－2(5K－2T)

解得K=5,T=5

所以原式=5(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)(X^2＋Y^2＋Z^2＋XY＋YZ＋ZX)

(2)

分析

設原式=[(2A＋2B＋2C)^3－(B＋C)^3]－[(C＋A)^3＋(A＋B)^3]

然后利用立方差和立方和公式展開,并令整理后的式子

=(2A＋B＋C)(M－N)

其中由輪換多項式可確定(M－N)中含有(A＋2B＋C),(A＋B＋2C)

比較系數(shù)的原式=3(2A＋B＋C)

(A＋2B＋C)(A＋B＋2C)

(3)分析

設X=Y＋Z,則有

原式=(X＋Y)^3＋Y^2(2Z＋Y)＋Z^2(2Y＋Z)－[(Y＋Z)^3＋Y^3＋Z^3]－2(Y＋Z)YZ

=(Y＋Z)^3＋2Y^2Z＋Y^3＋2YZ^2＋Z^3－(Y＋Z)^3－Y^3－Z^3－2Y^2Z－2YZ^2=0

所以原式有因式(Y＋Z－X),因為對稱式，故也有因式(Z＋X－Y),(X＋Y－Z)

設原式=K(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y)

其中K為待定系數(shù),比較等式兩邊XYZ項的系數(shù)

右=K(1－1＋1－1－1－1)=－2K

，左=－2

所以解得K=1

所以原式=(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y)

對稱與輪換對稱很重要，以后一直到大學都很有用。