什么時(shí)候要求行列式 如何理解行列式的定義

什么時(shí)候用行列式，什么時(shí)候用矩陣運(yùn)算啊？什么時(shí)候用行列式 什么時(shí)候用矩陣？行列式的概念、性質(zhì)和計(jì)算，行列式是在求解線(xiàn)性方程的情況下引入的一種記號(hào)，請(qǐng)問(wèn)行列式有無(wú)形式上的要求？ 行列式中行列的地位是否，什么時(shí)候用行列式,什么時(shí)候用矩陣運(yùn)算啊 如題？什么時(shí)候矩陣可以轉(zhuǎn)化成行列式？

本文導(dǎo)航

• 行列式和矩陣的區(qū)別和相同點(diǎn)
• 矩陣與行列式的區(qū)別和聯(lián)系表格
• 如何理解行列式的定義
• 行列式的計(jì)算技巧與方法
• 矩陣行列式的運(yùn)算法則
• 怎么理解矩陣的行列式

行列式和矩陣的區(qū)別和相同點(diǎn)

這要看具體情況

比如3個(gè)方程3個(gè)未知量的線(xiàn)性方程組

可以用系數(shù)行列式不等于0確定方程組有唯一解

等于0時(shí), 將增廣矩陣用初等行變換化梯矩陣確定無(wú)解還是無(wú)窮多解

無(wú)窮多解時(shí)化為行最簡(jiǎn)形得到通解

矩陣與行列式的區(qū)別和聯(lián)系表格

這要看具體情況.

比如判斷向量組線(xiàn)性相關(guān)性

若向量的個(gè)數(shù)等于向量組的維數(shù),則可用行列式

否則用矩陣

又如解含有參數(shù)的線(xiàn)性方程組

若方程的個(gè)數(shù)等于老師的個(gè)數(shù), 則可用行列式不等于0排除唯一解的情況

否則只能用矩陣

如何理解行列式的定義

第三節(jié)　行列式的性質(zhì)

根據(jù)n階行列式的定義，計(jì)算一個(gè)n階行列式，要求n!項(xiàng)n個(gè)元素乘積的代數(shù)和.當(dāng)階數(shù)n比較大時(shí)，這樣的計(jì)算量是很大的，并且用起來(lái)不方便，因此我們有必要討論行列式的計(jì)算方法.

在這一節(jié)，先研究行列式的一些運(yùn)算性質(zhì)，然后利用其性質(zhì)給出一種簡(jiǎn)便的計(jì)算方法.

設(shè)

把D的各行換成同序號(hào)的列，得到一個(gè)行列式，記成

，

稱(chēng)為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式.

顯然，D與 互為轉(zhuǎn)置行列式.

性質(zhì)1　行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式的值相等.即

證　記 的轉(zhuǎn)置行列式為

，

則有元素

由定義

由性質(zhì)1知，行列式中“行”與“列”的地位是相同的，行與列具有相同的性質(zhì).

性質(zhì)2　互換行列式的其中兩行（列），行列式改變符號(hào).

證　設(shè)

是由行列式 交換I，j(I<j)兩行得到的，那么有

當(dāng) 時(shí)， 于是

最后一式中的行標(biāo)排列 是自然排列，列標(biāo)排列 是由 經(jīng)一次對(duì)換得到的.設(shè) 的逆序數(shù)為s，則由對(duì)換性質(zhì)有 ，從而

用 表示行列工的第I行，用 表示第I列.交換行列式的第I行與第j行，記作 .類(lèi)似地，交換第I列與第j列，記作 .

推論　如果行列式其中有兩行（列）完全相同，那么行列式等于零.

證　交換相同的兩行，由性質(zhì)2得， ，于是 .

性質(zhì)3　將行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以k，等于用數(shù)k乘此行列式.

證　記 ，用數(shù)k乘以D的第I行，得

.

由定義

第 行元素乘以數(shù)k，記作 .類(lèi)似地，第 列元素同乘以數(shù)k，記作 .

推論　行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面.

第 行（或列）提出公因子k，記作

由性質(zhì)2和性質(zhì)3的推論即得下列性質(zhì).

性質(zhì)4　如果行列式中有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，那么行列式等于零.

性質(zhì)5　如果行列式的某一行（列）元素都是兩個(gè)數(shù)之和，那么可以把行列式表示成兩個(gè)行列式的和，即

性質(zhì)5由讀者自己證明.

性質(zhì)6　把行列式某一行（列）的元素同乘以數(shù)k，加到另一行（列）對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變，即

證　設(shè)原行列式為D，變形后得到的行列式為 ，由性質(zhì)5的性質(zhì)4得，

用數(shù)k乘以第j行（或列）加到第 行（或列）上去，記作

由行列式的以上性質(zhì)，可以把行列式化簡(jiǎn)，化為三角行列式的形式，從而方便地求出行列式的值.此方法叫做化上（下）三角形法.下面舉一些例子.

例1　計(jì)算

解

例2　證明

證　設(shè)此行列式為D，先把D化簡(jiǎn)，得

例3　計(jì)算n階行列式

解　從行列式D的元素排列特點(diǎn)看，每一列n個(gè)元素的和都相等，今把第2，3，…，n行同時(shí)加到第1行，提出公因子 ，然后各行減去第一行的b倍，有

行列式的計(jì)算技巧與方法

行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等，行與列的地位一樣。

矩陣行列式的運(yùn)算法則

這要看具體情況

比如3個(gè)方程3個(gè)未知量的線(xiàn)性方程組

可以用系數(shù)行列式不等于0確定方程組有唯一解

等于0時(shí),將增廣矩陣用初等行變換化梯矩陣確定無(wú)解還是無(wú)窮多解

無(wú)窮多解時(shí)化為行最簡(jiǎn)形得到通解

怎么理解矩陣的行列式

矩陣轉(zhuǎn)為行列式方法是將矩陣初等變換，化成三角陣，然后主對(duì)角線(xiàn)元素相乘，即可得到。

矩陣和行列式的區(qū)別是，行列式只是一個(gè)數(shù),是一組數(shù)按一定規(guī)則進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算的值，而矩陣在本質(zhì)上并不單單是一個(gè)數(shù)，它是一個(gè)二維的數(shù)據(jù)表格，只有方陣才有對(duì)應(yīng)的行列式。

具體看下面這幾點(diǎn)：

　　1.矩陣是一個(gè)表格,行數(shù)和列數(shù)可以不一樣；而行列式是一個(gè)數(shù)，且行數(shù)必須等于列數(shù)。只有方陣才可以定義它的行列式，而對(duì)于非方陣不能定義它的行列式。

　　2.兩個(gè)矩陣相等是指對(duì)應(yīng)元素都相等；兩個(gè)行列式相等不要求對(duì)應(yīng)元素都相等，甚至階數(shù)也可以不一樣，只要運(yùn)算代數(shù)和的結(jié)果一樣就行了。

　　3.兩矩陣相加是將各對(duì)應(yīng)元素相加；兩行列式相加，是將運(yùn)算結(jié)果相加，在特殊情況下(比如有行或列相同)，只能將一行(或列)的元素相加，其余元素照寫(xiě)。

　　4.數(shù)乘矩陣是指該數(shù)乘以矩陣的每一個(gè)元素；而數(shù)乘行列式，只能用此數(shù)乘行列式的某一行或列，提公因數(shù)也如此。

　　5.矩陣經(jīng)初等變換，其秩不變；行列式經(jīng)初等變換,其值可能改變：換法變換要變號(hào),，倍法變換差倍數(shù)；消法變換不改變。