反常積分收斂什么意思 反常積分收斂的比較判別法是啥

什么叫收斂的反常積分？“反常積分絕對收斂”是什么意思？反常積分的斂散性是什么？主值意義下反常積分存在不代表一般意義下反常積分收斂是什么意思？反常積分到底怎么判斷收斂？反常積分的斂散性判別是什么意思？

本文導(dǎo)航

• 怎樣確定反常積分的收斂與發(fā)散
• 反常積分是什么樣的
• 判斷廣義積分和反常積分的斂散性
• 反常積分收斂性判定定理有哪些
• 反常積分收斂發(fā)散怎么判斷
• 反常積分收斂的比較判別法是啥

怎樣確定反常積分的收斂與發(fā)散

解答：

1、從1到∞的積分，1跟∞，既是積分的下限、上限，也是積分區(qū)間，沒有區(qū)別；

2、函數(shù)收斂，積分可能收斂，也可能不收斂。

例如 y = 1/x，在x→∞，是收斂的；但是積分不收斂(樓上已經(jīng)說明)

而 y = 1/x2、y = 1/x3、y = 1/x?、、、、

在x→∞，無論函數(shù)，還是積分，都是收斂的。

反常積分是什么樣的

定義函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的任何有限區(qū)間內(nèi)可積，如果∫(a,+∞) |f(x)|dx 存在，那么，稱之為∫(a,+∞) f(x)dx絕對收斂

1.絕對收斂什么意思？

收斂就是當(dāng)x取無窮時，函數(shù)數(shù)列趨向于一個定值。如果一個函數(shù)數(shù)列加絕對值以后還是收斂的，那就是絕對收斂。

2.證明絕對收斂的反常積分必收斂

用積分不等式，因為積分的絕對值不超過絕對值的積分，而絕對值收斂，則原積分收斂。

3.積分收斂就是積分有極限的意思嗎？

積分收斂是針對反常積分（非正常定積分，也稱為廣義積分）而言的。反常積分有兩類：無窮積分（積分區(qū)間是無限區(qū)間）、瑕積分（被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)是無界函數(shù)）。

判斷廣義積分和反常積分的斂散性

首先，反常積分，是相對于定積分來說的一類積分情況。區(qū)別在于，定積分中，被積函數(shù)的x或者y在數(shù)軸上的取值范圍是有限的，是具體的，是一段有限長度的距離。通常對于這個積分計算，我們可以得到具體的數(shù)值，反映在幾何意義上就是可以得到一個有限的面積的大小。

而反常積分就是在x或y的取值上，得到一個x或y在數(shù)軸上一直取到無窮，這令我們懷疑，這個積分取到這么遠(yuǎn)，那么函數(shù)下方的面積到底是有限還是無限呢？

其次，“斂散性”就是，指這個看似“反?！钡姆e分是否真的可以得到有限面積而不是無限的面積。

比如，反常積分收斂，就是這個積分計算后可以得到一個有限的面積；發(fā)散，就是得到了一個無窮大的面積。反常積分收斂或者發(fā)散的性質(zhì)稱之為斂散性。

反常積分收斂性判定定理有哪些

舉個例子:求f(x)在(負(fù)無窮,正無窮)的積分,原函數(shù)為F(x).在一般意義下,是求兩個極限F(正無窮)-F(負(fù)無窮).這兩個極限都存在,無窮積分收斂.但主值是極限lim(R趨于無窮)(F(R)-F(-R)),實際上只有一個極限.

反常積分收斂發(fā)散怎么判斷

反常積分：反常積分又叫做廣義積分，指含有無窮上限/下限，或者被積函數(shù)含有瑕點的積分，也就是分為無窮區(qū)間上的反常積分和無界函數(shù)的反常積分。

無窮區(qū)間上的反常積分：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,∞)上連續(xù)，稱為f(x)在[a,+∞)上的反常積分.如果右邊極限存在，稱此反常積分收斂；如果右邊極限不存在，就稱此反常積分發(fā)散。

無界函數(shù)的反常積分：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù)，且f(x)在趨向于點b上的極限為∞，成為f(x)在區(qū)間[a,b)上的反常積分(也稱瑕積分)，使f(x)極限為∞的點b稱為f(x)的奇點(也稱瑕點)，這個點上是無法積分的。

「高等數(shù)學(xué)」反常積分的計算，并判斷它的收斂性

給出一個反常積分，并告訴我們該反常積分收斂，則我們可以得到哪些信息。

通過反常積分的概念，可以知道這道題指的是在無窮區(qū)間的反常積分（只要一看積分區(qū)間有∞存在，即可知道該反常積分為在無窮區(qū)間上的反常積分），如果右邊的極限存在，就稱該反常積分收斂，這個概念說明該反常積分存在極限，這道題反常積分的瑕點為1。

那我們便可以將該反常積分分為兩個區(qū)間來計算，一個區(qū)間是位于(0,1)，另一個區(qū)間則是位于(1,+∞)，我們可以先對第一個區(qū)間進(jìn)行判斷，因為要讓該反常積分收斂，必須讓兩個區(qū)間的積分都收斂才可以。（一個是無界函數(shù)的反常積分，另一個則是無窮區(qū)間的反常積分。）

如果說這兩個反常積分有一個不存在，就說明該反常積分不存在（發(fā)散），反之，要說明該反常積分存在（收斂），說明兩個反常積分都要存在才可以。

反常積分收斂的比較判別法是啥

反常積分的斂散性判別是是極限的存在性與無窮小或無窮大的比階問題。

兩類反常積分的收斂尺度：對第一類無窮限 而言，當(dāng)x趨近于正無窮時，f(x)必為無窮小，并且無窮小的階次不能低于某一尺度，才能保證收斂；對第二類無界函數(shù)而言，當(dāng)x趨近于a加時，f(x)必為無窮大。且無窮小的階次不能高于某一尺度，才能保證收斂；這個尺度值一般等于1，注意識別反常積分。

定義：

一般地，我們有下列定義。

定義6.2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+∞)上連續(xù)，取t>a,如果極限 當(dāng)t→+∞時lim∫f(x)dx （t為上限，a為下限）存在，就稱此極限值為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,+∞)上的廣義積分.記作∫f(x)dx（+∞為上限，a為下限）。

即 ∫f(x)dx（+∞為上限，a為下限）=lim(t→+∞)∫f(x)dx（t為上限，a為下限）。

這時我們說廣義積分∫f(x)dx（+∞為上限，a為下限） 存在或收斂。

如果 不存在，就說函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,+∞)的反常積分沒有意義或發(fā)散。

類似地，可以定義 在區(qū)間(-∞,b]及取t<b上的廣義積分∫f(x)dx（b為上限，-∞為下限）。