常微分方程重點有哪些 常微分方程學(xué)習(xí)感悟

常微分方程重點要掌握那些內(nèi)容，能幫我寫一份《常微分方程》綱要嗎？怎樣學(xué)習(xí)好常微分方程，考研考哪些內(nèi)容?。砍Ｎ⒎址匠痰奶攸c，高等數(shù)學(xué)里微分方程里面哪些是常考內(nèi)容呢?那些是那一章的重點呢？

本文導(dǎo)航

• 常微分方程學(xué)習(xí)感悟
• 常微分方程的五種解題方法
• 考研微分方程解法總結(jié)
• 常微分方程的總結(jié)
• 高等數(shù)學(xué)常微分方程練習(xí)題

常微分方程學(xué)習(xí)感悟

初等基分法

重點：五種基本初等積分法——變量分離方程解法，常數(shù)變易法，全微分方程解法，參數(shù)法，降階法。

難點：判斷方程類型采用正確解法求解。

基本定理

重點：解的存在與唯一性定理，解的延展定理。

難點：解的存在與唯一性定理的證明。

線性微分方程組

重點：線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)，常系數(shù)線性微分方程組的解法。

難點：常系數(shù)線性微分方程組的重特征根情況。

線性微分方程

重點：n階線性微分方程解的存在唯一性定理，通解基本定理，n階常系數(shù)線性方程的解法。

難點：線性非齊次微分方程解的特解的求法。

定性理論簡介

重點：平面自治系統(tǒng)的奇點分析。

難點：穩(wěn)定性有關(guān)定理的證明。

常微分方程的五種解題方法

《常微分方程》課程教學(xué)綱要

一、課程概述

（一）課程學(xué)時與學(xué)分

課程代碼：1302，開課專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)，第6學(xué)期開課，課程總學(xué)時72學(xué)時，4學(xué)分。課程總學(xué)時包括課堂講授54學(xué)時，習(xí)題課18學(xué)時。

（二）課程性質(zhì)

《常微分方程》這門課程是利用數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，復(fù)變函數(shù)等課程中的基礎(chǔ)知識，介紹常微分方程中方程的一般常用解法和基本理論。它將為數(shù)學(xué)，力學(xué)，物理系的學(xué)生在后期的學(xué)習(xí)中服務(wù)，對于數(shù)學(xué)聯(lián)系實際和各種數(shù)學(xué)方法的靈活運(yùn)用是不可缺少的基本訓(xùn)練。屬于院專業(yè)必修課

（三）教學(xué)目的

?常微分方程?是高等師范院校本科教育專業(yè)繼數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)等基礎(chǔ)課之后開設(shè)的一門主干課，必修課。著重向?qū)W生介紹常微分方程的一般常用解法和基本理論，其中包括用初等積分法求解常見的幾種類型一階微分方程和如何求解高階線形微分方程與方程組，以及微分方程理論中最重要的理論基礎(chǔ)：解的存在唯一性定理，解的延展定理。在提高學(xué)生解決實際問題的能力的同時，簡要的介紹該門課程的基本思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生對一般微分方程進(jìn)行分析的能力。

（四）本課程與其他課程的聯(lián)系與分工

《常微分方程》這門課程是以數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，復(fù)變函數(shù)等課程中的知識為基礎(chǔ)的，它將為數(shù)學(xué)系的學(xué)生在后期的學(xué)習(xí)中提供幫助。如：微分幾何，偏微分方程等課程。常微分方程這門課程是與實際聯(lián)系比較緊密的一門課程，對于數(shù)學(xué)聯(lián)系實際和各種數(shù)學(xué)方法的靈活運(yùn)用是不可缺少的基本訓(xùn)練。

二、課程教學(xué)的基本內(nèi)容與要求

（一）教學(xué)要求

1、要結(jié)合學(xué)生實際水平和能力學(xué)習(xí)常微分方程。

2、掌握微分方程中解方程的基本方法（分離變量法；恰當(dāng)方程；一階線性方程；初等變換法中的齊次方程，伯努里方程，黎卡提方程以及積分因子法）

3、掌握最基本的理論基礎(chǔ)：解的存在唯一性定理和解的延展定理。

4、掌握高階線形微分方程和線形微分方程組的某些定理和基本解法。

5、了解奇解與包絡(luò)的概念及二者的求法。

（二）課程總學(xué)時數(shù)與課程學(xué)時分配

1、總學(xué)時: 18 4=72(學(xué)時)

2、課程學(xué)時分配表

章 次 內(nèi) 容 學(xué)時

第一章 基本概念 4

第二章 初等積分法 20

第三章 畢卡定理 12

第四章 奇解 8

第五章 高階微分方程 8

第六章 高階微分方程組 20

合計 72

（三）教學(xué)內(nèi)容

第一章 緒 論

（一）教學(xué)目的和要求

掌握微分方程及解的定義，掌握微分方程及解的幾何解釋以及線素場的基本做法。

（二）教學(xué)重點與難點

1、微分方程及解的定義

2、線素場的基本做法

（三）教學(xué)方式

講授為主，多舉例題，多作練習(xí)。

（四）教學(xué)內(nèi)容

第一節(jié) 微分方程及解的定義

1、常微分方程的概念。

2、常微分方程解的概念。

（1）通解（通積分）

（2）特解

3、初值問題（柯西問題）。

4、如何求一個曲線族滿足的微分方程。

第二節(jié) 微分方程及解的幾何解釋

1、積分曲線，線素，線素場，方向場的概念。

2、微分方程及解的幾何解釋。

3、如何作出某些簡單類型微分方程的線素場。

第二章 初等積分法

（一）教學(xué)目的與要求

熟練掌握初等積分法的幾種類型，能作到快速判定方程類型，進(jìn)而求解。掌握這些方法和技巧是學(xué)好本門課程及其他分支課程的基本訓(xùn)練。

（二）教學(xué)重點與難點

1、恰當(dāng)方程的判定條件及如何用公式求解恰當(dāng)方程。

2、變量可分離方程的求解。

3、一階線形微分方程的形式特點與求解公式以及五點性質(zhì)。

4、初等變換法。

5、積分因子法。

6、如何求已知曲線族的等角軌線族，正交軌線族。

（三）教學(xué)方式

以課堂講授為主，多舉例題。課后布置一定量的習(xí)題作為作業(yè)，通過批改作業(yè)及課堂上小測驗督促學(xué)生學(xué)習(xí)，提高對本章內(nèi)容的重視程度。

（四）教學(xué)內(nèi)容

第一節(jié) 恰當(dāng)方程

1、恰當(dāng)方程的定義（全微分方程）。

2、定理：如何判定一個對稱形式的 方程是恰當(dāng)方程及利用公式求解。

第二節(jié) 變量可分離的方程

1、變量可分離方程的定義。

2、補(bǔ)充：某些丟失的解要找回來。

3、直接積分求解。

4、課后習(xí)題四給予講解（涉及物理知識）。

第三節(jié) 一階線形方程

1、一階線形方程的定義。

2、求解一階齊次線形方程的公式。

3、求解一階非齊次線形方程的公式。

4、初步了解常數(shù)變異法。

5、一階線形方程解的五條性質(zhì)，部分做練習(xí)。

第四節(jié) 初等變換法

1、舉兩個例題說明某些不能求解的方程通過初等變換可以求解。

2、齊次方程： ，做變換 求解 。

3、形如 的方程如何作變換求解。

4、伯努力方程 做變換 。

5、黎卡提方程 形式上最簡單的非線形方程求解只做一般了解。

第五節(jié) 積分因子法

1、積分因子的定義。

2、定理3，4分別給出兩個特殊類型微分方程的積分因子

3、進(jìn)一步介紹分組求積分因子。

4、定理6是課后部分習(xí)題的基礎(chǔ)，做詳細(xì)講解。

第六節(jié) 應(yīng)用舉例

1、等角軌線族，正交軌線族的定義。

2、如何求已知曲線族的等角軌線族，正交軌線族。

第三章 畢卡定理

（一）教學(xué)目的與要求

存在和唯一性定理又稱畢卡定理，是微分方程理論中的基本定理。要熟練記憶并深刻理解畢卡定理的內(nèi)容。對于證明思想和方法，逐次迭代法構(gòu)造畢卡序列，證明畢卡序列一致收斂到方程的唯一解 ，要熟練和掌握。解的延展定理是討論方程某些解的存在區(qū)間問題，選講中山大學(xué)，東北師范大學(xué)教材的部分內(nèi)容，適當(dāng)補(bǔ)充一些例題和課后習(xí)題，對于延展定理主要是使用推論。

（二）教學(xué)重點和難點

1、畢卡定理：李普西茲條件，替換條件。

2、證明過程。

3、補(bǔ)充說明。

4、解的延展定理和推論。

5、幾道重要典型例題。

（三）教學(xué)方式

以課堂講授為主，作到細(xì)致入微。要求學(xué)生課后認(rèn)真復(fù)習(xí)，完成補(bǔ)充的課后作業(yè)。

（四）教學(xué)內(nèi)容

第一節(jié) 畢卡定理

1、介紹李氏條件的概念及替換條件： 對 有連續(xù)偏導(dǎo)。

2、畢卡定理的內(nèi)容及證明過程。

第二節(jié) 解的延拓

1、介紹局李普西茲條件。

2、舉例講解解的延拓情況。

3、引入解的延拓定理及推論。

4、使用定理及推論做補(bǔ)充習(xí)題，并布置補(bǔ)充的作業(yè)題。

第四章 奇解

（一）教學(xué)目的與要求

掌握求解一階隱式微分方程的兩種方法：微分法，參數(shù)法。掌握奇解概念及求奇解的方法。掌握包絡(luò)的概念及包絡(luò)的求法。掌握克萊洛方程的類型及解法。

（二）教學(xué)重點與難點

1、一階隱式微分方程的求解，重在掌握微分法，參數(shù)法。

2、奇解概念及求奇解的方法，兩個定理要運(yùn)用自如。

3、包絡(luò)的概念及求包絡(luò)的求法，兩個定理要運(yùn)用自如。

4、奇解和包絡(luò)的關(guān)系。

5、克萊洛方程的類型及解法。

（三）教學(xué)方式

以課堂講授為主，補(bǔ)充例題和習(xí)題，擴(kuò)充視野，多做練習(xí)題。

（四）教學(xué)內(nèi)容

第一節(jié) 一階隱式微分方程

1、形如 的方程利用微分法求解。

2、形如 的方程利用參數(shù)法求解。

3、包絡(luò)的概念及如何使用兩個定理求出曲線族的包絡(luò)。

4、奇解概念及如何使用兩個定理求出方程的奇解。

5、克萊洛方程的類型及解法。

第五章 高階微分方程

（一）教學(xué)目的與要求

對于幾種特殊類型的可降階的高階微分方程要掌握其解法；能作到 階微分方程與 階微分方程組之間的互化及找出二者解之間關(guān)系；熟知 階標(biāo)準(zhǔn)微分方程組的兩種向量形式及初值問題解的唯一性。

（二）教學(xué)重點與難點

1、幾種特殊類型的可降階的高階微分方程的解法。

（1）

（2）

（3）恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程。

2、引入變量，使 階微分方程與 階標(biāo)準(zhǔn)微分方程組之間互化。

3、 階標(biāo)準(zhǔn)微分方程組的向量形式。

（三）教學(xué)方式

以課堂講授為主，輔以學(xué)生做課后習(xí)題。

（四）教學(xué)內(nèi)容

第一節(jié) 幾種特殊類型的可降階的高階微分方程

1、形如 的方程的解法，令 。

2、形如 的方程的解法，令 。

3、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程。

4、補(bǔ)充習(xí)題。

第二節(jié) 維線形空間中的微分方程

1、 階微分方程與 階標(biāo)準(zhǔn)微分方程組之間的互化，引入變量

2、 階標(biāo)準(zhǔn)微分方程組的兩種向量形式， 是常用的一種。

3、 階標(biāo)準(zhǔn)微分方程組的初值問題的解的存在唯一性。

第六章 線形微分方程組

（一）教學(xué)目的與要求

掌握線形微分方程組的一般理論主要是了解它的所有解的代數(shù)結(jié)構(gòu)問題，中心問題是齊次線形微分方程組的基解矩陣。非齊次方程組的任一解可由基解矩陣通過積分求得。對于常系數(shù)線形微分方程組要能通過求特征根求得基解矩陣。對于高階線形微分方程要求能求得齊次方程的基本解組，進(jìn)而求通解。對于非齊次方程右端的兩種特殊形式，能求出相應(yīng)的特解，進(jìn)而求通解。

（二）教學(xué)重點與難點

1、齊次線形微分方程組的通解構(gòu)造。

2、劉維爾公式 。

3、基解矩陣的兩性質(zhì)。

4、非齊次方程組的通解構(gòu)造及求解公式。

5、常系數(shù)線形微分方程組的基解矩陣。

（1）利用若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型求得

（2）利用待定指數(shù)函數(shù)法求得

6、常系數(shù)非齊次線形微分方程組的通解公式。

7、將方程組的某些理論推廣到高階線形微分方程上去。

8、高階齊次線形微分方程的通解構(gòu)造。

9、兩種類型的高階非齊次線形微分方程的通解構(gòu)造。

（三）教學(xué)方式

以課堂講授為主，通過多做例題，多做習(xí)題加深學(xué)生對授課內(nèi)容的理解。

（四）教學(xué)內(nèi)容

第一節(jié) 一般理論

1、齊次線形微分方程組

（1）通解構(gòu)造（基解矩陣）

（2）利用朗斯基行列式判定線形相關(guān)（無關(guān)）

（3）基解矩陣的兩個性質(zhì)。

2、非齊次方程組

（1）通解構(gòu)造

（2）利用常數(shù)變異法求出通解公式。

第二節(jié) 常系數(shù)線形微分方程組

1、矩陣指數(shù)函數(shù)的引入及性質(zhì)。

2、常系數(shù)齊次線形微分方程組的基解矩陣為 。

3、利用若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型求得基解矩陣為 。

4、利用待定指數(shù)函數(shù)法求得基解矩陣。

（1）A有單根

（2）A有重根

5、舉出可以不用定理5，6求解的方程組的特例。

第三節(jié) 高階線形微分方程

1、高階線形微分方程的一般理論

（1）齊次線形微分方程的通解構(gòu)造。

（2）基本解組的引入及如何判定其為基本解組。

（3）非齊次線形微分方程的通解構(gòu)造。

（4）重要例題。

2、常系數(shù)高階線形微分方程

（1）利用特征方程的特征根求得齊次方程通解。

（2）就兩種特殊類型的非齊次方程，如何利用其特殊性求得特 解，進(jìn)而求通解。

（3）舉例說明某些方程組可以轉(zhuǎn)化為方程計算求解。

（4）本節(jié)課后大部分習(xí)題給予講解。

三、教學(xué)方式與方法

理論及例題部分以課堂講授為主。課后習(xí)題大部分由學(xué)生獨立完成，較難的在輔導(dǎo)課時間給予講解。通過批改作業(yè)及課堂進(jìn)行小測驗督促學(xué)生學(xué)習(xí)及檢驗學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的掌握情況。

四、課程考核與要求

考核方法：閉卷筆試與平時成績相結(jié)合，由教師掌握。采取百分制。

五、課程綱要制定程序

本課程綱要的制定是由師范學(xué)院院長梁曉俐教授、副院長牛平、數(shù)學(xué)系主任周毅、聶錫軍、李艷紅、于強(qiáng)共同研究初步定稿，由聶錫軍老師具體執(zhí)筆編寫。

六、課程使用的教材與教學(xué)參考資料

（一）教材名稱：常微分方程

（二）參考資料：1、常微分方程 東北師范大學(xué)

2、常微分方程 中山大學(xué)

3. 常微分方程 丁崇文

（三）其他參考資料:

1.常微分方程典型題解法和技巧 丁崇文

2.常微分方程習(xí)題與解答 丁崇文

3.常微分方程習(xí)題解 莊萬

考研微分方程解法總結(jié)

數(shù)一大綱

考試科目

高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計

考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

一、試卷滿分及考試時間

試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘.

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試.

三、試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)

高等數(shù)學(xué)　 56%

線性代數(shù)　 22%

概率論與數(shù)理統(tǒng)計[5]22%

四、試卷題型結(jié)構(gòu)

試卷題型結(jié)構(gòu)為：

單選題 8小題，每題4分，共32分

填空題 6小題，每題4分，共24分

解答題(包括證明題) 9小題，共94分

考試內(nèi)容之高等數(shù)學(xué)

函數(shù)、極限、連續(xù)

考試要求

1.理解函數(shù)的概念

2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.

3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.

4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.

5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系.

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則.

7.掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.

8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.

9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數(shù)間斷點的類型.

10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并會應(yīng)用這些性質(zhì).

一元函數(shù)微分學(xué)

考試要求

1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.

2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分.

3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).

4.會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

5.理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會用柯西(Cauchy)中值定理.

6.掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法.

7.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用.

8.會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性(注：在區(qū)間 內(nèi)，設(shè)函數(shù) 具有二階導(dǎo)數(shù)。當(dāng) 時， 的圖形是凹的;當(dāng) 時， 的圖形是凸的)，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形.

9.了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑.

一元函數(shù)積分學(xué)

考試要求

1.理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念.

2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法.

3.會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分.

4.理解積分上限的函數(shù)，會求它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式.

5.了解反常積分的概念，會計算反常積分.

6.掌握用定積分表達(dá)和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等)及函數(shù)的平均值.

常微分方程的總結(jié)

常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關(guān)幾點簡述一下，以了解常微分方程的特點。求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達(dá)式，了解對某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進(jìn)行關(guān)于解的其他研究。后來的發(fā)展表明，能夠求出通解的情況不多，在實際應(yīng)用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解。當(dāng)然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點轉(zhuǎn)移到定解問題上來。一個常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個呢？這是微分方程論中一個基本的問題，數(shù)學(xué)家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因為如果沒有解，而我們要去求解，那是沒有意義的；如果有解而又不是唯一的，那又不好確定。因此，存在和唯一性定理對于微分方程的求解是十分重要的。大部分的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解。當(dāng)然，這個近似解的精確程度是比較高的。另外還應(yīng)該指出，用來描述物理過程的微分方程，以及由試驗測定的初始條件也是近似的，這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。

高等數(shù)學(xué)常微分方程練習(xí)題

同濟(jì)六版的高等數(shù)學(xué)微分方程常考內(nèi)容：

1.一階二階常系數(shù)線性微分方程通解的一般解法

2.常系數(shù)齊次線性微分方程的一般解法

3.高階線性微分方程