什么是相似矩陣 相似的兩個矩陣有什么性質(zhì)
矩陣的等價和相似有什么區(qū)別？矩陣的等價和相似有什么區(qū)別？相似矩陣的性質(zhì)是什么？矩陣的相似是什么意思？矩陣相似的定義是什么？相似矩陣的性質(zhì)是什么？
本文導航
矩陣相似的條件都有哪些
1、性質(zhì)
矩陣等價：在線性代數(shù)和矩陣論中，有兩個m×n階矩陣A和B，如果這兩個矩陣滿足B=QAP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那么這兩個矩陣之間是等價關系。也就是說，存在可逆矩陣，A經(jīng)過有限次的初等變換得到B。
矩陣相似：在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關系的矩陣。設A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)AP=B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B。
2、特點
矩陣等價：當A和B為同型矩陣，且r（A）=r（B）時，A，B一定等價。
矩陣相似：相似矩陣具有相同的可逆性，當它們可逆時，則它們的逆矩陣也相似。
擴展資料：
矩陣相似的相關定理：
1、兩者的秩相等；
2、兩者的行列式值相等；
3、兩者的跡數(shù)相等；
4、兩者擁有同樣的特征值，盡管相應的特征向量一般不同。
參考資料來源：百度百科-等價矩陣
參考資料來源：百度百科-相似矩陣
如何理解矩陣中的等價
矩陣等價:對于矩陣A(m*n)來說,有可逆的矩陣P,Q使PAQ=B,那么B就與A等價,實質(zhì)上就是A經(jīng)過有限次的初等變換得到B.
設A,B為n階矩陣,如果有n階非奇異矩陣P存在,使得P^(-1)*A*P=B成立,則稱矩陣A與B相似,記為A~B.
由上述定義可以,相似矩陣必須為相同的方陣；等價矩陣只需要（m*n）相同.
可見,相似矩陣就是等價矩陣,但是其定義比等價矩陣嚴格.
相似矩陣的充分必要條件
性質(zhì)
相似變換是矩陣之間的一種等價關系，也就是說滿足：
1、反身性：任意矩陣都與其自身相似。
2、對稱性：如果A和B相似，那么B也和A相似。
3、傳遞性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。
矩陣間的相似關系與所在的域無關：設K是L的一個子域，A和B是兩個系數(shù)在K中的矩陣，則A和B在K上相似當且僅當它們在L上相似。這個性質(zhì)十分有用：在判定兩個矩陣是否相似時，可以隨意地擴張系數(shù)域至一個代數(shù)閉域，然后在其上計算若爾當標準形。
如果兩個相似矩陣A和B之間的轉(zhuǎn)換矩陣P是一個置換矩陣，那么就稱;A和B“置換相似”。 如果兩個相似矩陣A和B之間的轉(zhuǎn)換矩陣P是一個酉矩陣，那么就稱;A和B“酉相似”。譜定理證明了每個正規(guī)矩陣都酉相似于某個對角矩陣。
擴展資料：
相似變換下的不變性質(zhì)
兩個相似的矩陣有許多相同的性質(zhì)：
1、兩者的秩相等。
2、兩者的行列式值相等。
3、兩者的跡數(shù)相等。
4、兩者擁有同樣的特征值，盡管相應的特征向量一般不同。
5、兩者擁有同樣的特征多項式。
6、兩者擁有同樣的初等因子
矩陣等價和相似有什么區(qū)別嗎
在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關系的矩陣。設A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)AP=B則稱矩陣A與B相似，記為A~B。
矩陣是高等代數(shù)學中的常見工具，也常見于統(tǒng)計分析等應用數(shù)學學科中，在物理學中，矩陣于電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數(shù)值分析領域的重要問題。
相關信息：
兩個矩陣的乘法僅當?shù)谝粋€矩陣A的列數(shù)和另一個矩陣B的行數(shù)相等時才能定義。
矩陣分解是將一個矩陣分解為比較簡單的或具有某種特性的若干矩陣的和或乘積，矩陣的分解法一般有三角分解、譜分解、奇異值分解、滿秩分解等。
旋轉(zhuǎn)矩陣的原理在數(shù)學上涉及到的是一種組合設計：覆蓋設計。而覆蓋設計，填裝設計，斯坦納系，t-設計都是離散數(shù)學中的組合優(yōu)化問題。它們解決的是如何組合集合中的元素以達到某種特定的要求。
矩陣相似的幾何意義
簡單地講就是一個矩陣可以經(jīng)過初等行列變換后變成另一個矩陣，這兩個矩陣是相似的（不是嚴格定義），其次，按照書本定義，可以按照上面的說法來理解。
在數(shù)學中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的復數(shù)或?qū)崝?shù)集合，最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數(shù)學家凱利首先提出。
矩陣的相關簡介：
矩陣是高等代數(shù)學中的常見工具，也常見于統(tǒng)計分析等應用數(shù)學學科中，在物理學中，矩陣于電路學、力學、光學和量子物理中都有應用，計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣，矩陣的運算是數(shù)值分析領域的重要問題。
將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算，對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣。
相似的兩個矩陣有什么性質(zhì)
相似矩陣的性質(zhì)是：
1、反身性：任意矩陣都與其自身相似。
2、對稱性：如果A和B相似，那么B也和A相似。
3、傳遞性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。
相似矩陣的判定方法：
（1）判斷特征值是否相等。
（2）判斷行列式是否相等。
（3）判斷跡是否相等。
（4）判斷秩是否相等。
兩個矩陣相似充要條件是：特征矩陣等價行列式因子相同不變，因子相同初等因子相同，且特征矩陣的秩相同轉(zhuǎn)置矩陣相似。兩個矩陣若相似于同一對角矩陣，這兩個矩陣相似。
