哪些函數(shù)有極限 函數(shù)的六種極限定義

滿足什么條件的函數(shù)才有極限？什么樣的函數(shù)才有極限？怎樣的函數(shù)有極限?怎樣的函數(shù)沒有極限？函數(shù)有極限的條件是什么？一個(gè)函數(shù)有極限需滿足哪些條件，函數(shù)極限存在的條件是什么？

本文導(dǎo)航

• 函數(shù)極限的24種定義怎么理解
• 函數(shù)的六種極限定義
• 一個(gè)函數(shù)可以有多個(gè)極限么
• 函數(shù)的極限怎么才能存在
• 怎樣證明一個(gè)函數(shù)的極限存在
• 函數(shù)極限可以解決什么問題

函數(shù)極限的24種定義怎么理解

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x。的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。?，總存在正數(shù)δ ，使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式：

|f(x)-A|<ε

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x。時(shí)的極限。

函數(shù)的六種極限定義

如果只說求某某函數(shù)的極限，別人是不明白的，還必須要指明自變量（例如x）是如何變化的。

考慮自變量的變化趨勢，有x→x0（x0是某個(gè)實(shí)數(shù)，這有多少種？）與x→∞；細(xì)分的話，還有x從左邊趨向于x0、從右邊趨向于x0、趨向于正無窮大、趨向于負(fù)無窮大。

還不要忘記，我們研究函數(shù)的極限是有前提條件的：

研究x→x0時(shí)的極限，要求函數(shù)在x0某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義；研究x→∞時(shí)的極限，要求存在正數(shù)X，當(dāng)|x|>X時(shí)函數(shù)有定義。

只有在滿足前提條件下，才可以談這個(gè)函數(shù)此時(shí)的極限存在與不存在。

你只給出函數(shù)單調(diào)有界，既不知道函數(shù)的定義域是怎樣的，又不知道自變量如何變化，這樣情形下談函數(shù)的極限根本就沒有絲毫的意義。

一個(gè)函數(shù)可以有多個(gè)極限么

函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的極限，要求有左極限和右極限同時(shí)存在且相等。 按這個(gè)說法，一個(gè)點(diǎn)的極限分以下幾種情況： 1，連續(xù)函數(shù)，在定義域范圍內(nèi)必有極限； 2，有間斷點(diǎn)的函數(shù)，又分為： a) 第一類間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)有極限，這類間斷點(diǎn)又叫可去間斷點(diǎn)； b) 第二類間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)沒有極限，又分兩種： I）左右極限存在但不相等，如階躍函數(shù)。 II）左右極限至少一個(gè)不存在，如振蕩或趨向無窮，如x->0時(shí)，y=sin(1/x),y=ctg(x)就無極限。 函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限，這個(gè)只要能判定此時(shí)函數(shù)值是不是超向一個(gè)定數(shù)就能確定是有極限，否則無極限。如x->無窮時(shí)，y=x*x無極限，y=sin(x)無極限。

函數(shù)的極限怎么才能存在

如果函數(shù)在某點(diǎn)的左右極限存在并且相等,那么該函數(shù)在該點(diǎn)的極限存在.

例如,分段函數(shù)f(x)=x^2+2x-3 x2

在x=2這一點(diǎn)極限存在,等于5

怎樣證明一個(gè)函數(shù)的極限存在

如果函數(shù)在某點(diǎn)的左右極限存在并且相等，那么該函數(shù)在該點(diǎn)的極限存在。

單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)增加（減少）有上（下）界的數(shù)列必定收斂。

在運(yùn)用以上兩條去求函數(shù)的極限時(shí)尤需注意以下關(guān)鍵之點(diǎn)。一是先要用單調(diào)有界定理證明收斂，然后再求極限值。二是應(yīng)用夾擠定理的關(guān)鍵是找到極限值相同的函數(shù) ，并且要滿足極限是趨于同一方向 ，從而證明或求得函數(shù) 的極限值。

恒等變形

當(dāng)分母等于零時(shí)，就不能將趨向值直接代入分母，可以通過下面幾個(gè)小方法解決：

第一：因式分解，通過約分使分母不會(huì)為零。

第二：若分母出現(xiàn)根號(hào)，可以配一個(gè)因子使根號(hào)去除。

第三：以上我所說的解法都是在趨向值是一個(gè)固定值的時(shí)候進(jìn)行的，如果趨向于無窮，分子分母可以同時(shí)除以自變量的最高次方。（通常會(huì)用到這個(gè)定理：無窮大的倒數(shù)為無窮小）

當(dāng)然還會(huì)有其他的變形方式，需要通過練習(xí)來熟練。

函數(shù)極限可以解決什么問題

函數(shù)極限存在的條件：

1、單調(diào)有界準(zhǔn)則。函數(shù)在某一點(diǎn)極限存在的充要條件是函數(shù)左極限和右極限在某點(diǎn)都存在且相等。如果左右極限不相同、或者不存在。則函數(shù)在該點(diǎn)極限不存在。即從左趨向于所求點(diǎn)時(shí)的極限值和從右趨向于所求點(diǎn)的極限值相等。

2、夾逼準(zhǔn)則，如能找到比目標(biāo)版數(shù)列或者函數(shù)權(quán)大而有極限的數(shù)列或函數(shù)，并且又能找到比目標(biāo)數(shù)列或者函數(shù)小且有極限的數(shù)列或者函數(shù)，那么目標(biāo)數(shù)列或者函數(shù)必定存在極限。

函數(shù)極限求值方法：

當(dāng)分母等于零時(shí)，就不能將趨向值直接代入分母，可以通過下面幾個(gè)小方法解決：

第一：因式分解，通過約分使分母不會(huì)為零。

第二：若分母出現(xiàn)根號(hào)，可以配一個(gè)因子使根號(hào)去除。

第三：以上我所說的解法都是在趨向值是一個(gè)固定值的時(shí)候進(jìn)行的，如果趨向于無窮，分子分母可以同時(shí)除以自變量的最高次方。（通常會(huì)用到這個(gè)定理：無窮大的倒數(shù)為無窮?。?。